ВсОШ 2024, 9 класс, задача 4
Дан вписанный четырёхугольник , в котором . Его диагонали пересекаются в точке . Прямая пересекает отрезки , , и в точках , , и соответственно. Известно, что и . Докажите, что длина отрезка равна диаметру окружности, описанной около треугольника . (А. Кузнецов, И. Фролов)
Ответ
Решение. Применяя теорему Менелая к треугольнику и секущим и , получаем
.
Из равенств и следует, что и . Подставляя все эти равенства, получаем ; это означает, что точки и симметричны относительно середины отрезка (см. рис. 1). Из условия следует, что лучи и пересекаются в некоторой точке под прямым углом. Тогда в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы .
Обозначим через и середины и соответственно, а через - центр окружности . Тогда - точка пересечения серединных перпендикуляров к и , которые совпадают с серединными перпендикулярами к и соответственно. Значит, - также центр окружности , а - её радиус. Поэтому нам достаточно доказать, что . Мы докажем, что - параллелограмм, откуда это и следует.
Поскольку - медиана в треугольнике , а - отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырёхугольника , имеем
.
В прямоугольном треугольнике проекции вектора медианы на прямые и равны и соответственно. Поскольку и - центры окружностей и соответственно, проекции вектора на эти прямые равны и . Значит, .
Итак, , откуда и следует, что - параллелограмм.
Замечание. Есть и другие доказательства того, что - параллелограмм. Например, можно использовать тот факт, что точки и изогонально сопряжены относительно треугольника . Также задачу можно решить, используя методы из решения задачи 10.4.
