ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2
( баллов) Биссектрисы треугольника пересекаются в точке , внешние биссектрисы его углов и пересекаются в точке . Окружность с центром в точке проходит через точку и касается прямой в точке . Окружность с центром в точке проходит через точку и касается прямой в точке . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите отношение . (Л. Емельянов, И. Богданов)
Ответ. .
Первое решение. Проведём в окружности диаметр , а в окружности — диаметр . Заметим, что , поскольку внутренняя и внешняя биссектриса угла перпендикулярны. Следовательно, точка лежит на , а точка — на (см. рис. 1). Кроме того, , поскольку касается в точке , поэтому . Аналогично, . Итого, четырёхугольник — параллелограмм, пусть его диагонали пересекаются в точке . Тогда , а отрезок — средняя линия треугольника , поэтому точка — середина отрезка . Таким образом, , откуда следует, что .
Второе решение. Обозначим через середину дуги описанной окружности треугольника , а через — середину другой её дуги . Пусть луч вторично пересекает в точке (см. рис. 2). Поскольку — диаметр окружности , то .
По известной лемме о трезубце имеем , в частности, — середина отрезка . Поскольку и , то .
Продлим луч до пересечения с в точке . Так как внешний для треугольника , а также четырёхугольник — вписанный, мы получаем, что , поэтому окружность касается прямой в точке . Также эта окружность проходит через , следовательно, это и есть окружность . Аналогично, окружность описана около треугольника .
Значит, — общая хорда окружностей и , а тогда — серединный перпендикуляр к отрезку . Поскольку к тому же , мы получаем, что проходит через середину отрезка , то есть , а тогда .
Замечание. Точка во втором решении совпадает с точкой из первого решения.