(20 баллов) Назовём главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a=b. (А.С. Голованов)
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2022, 11 класс, задача 2
(20 баллов) На плоскости нарисованы графики функций y=sin x и y=tan x, а также оси координат. Как циркулем и линейкой построить какую-нибудь прямую, которая касается графика синуса как выше оси абсцисс (Ox), так и ниже (и, возможно, имеет ещё несколько точек пересечения)? (А. Кузнецов)
Очень сложная
Функции
ВсОШ 2022, 11 класс, задача 3
(20 баллов) На плоскости фиксирован остроугольный треугольник ABC с наибольшей стороной BC. Пусть PQ — произвольный диаметр его описанной окружности, причём точка P лежит на меньшей дуге AB, а точка Q — на меньшей дуге AC. Точки X, Y и Z — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямую AB
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2022, 11 класс, задача 4
(20 баллов) Дано натуральное число n>4. На плоскости отмечены n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Василий проводит по одному все отрезки, соединяющие пары отмеченных точек. На каждом шаге, проводя очередной отрезок S, Василий помечает его наименьшим натуральным числом, которым
(20 баллов) На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести? (И. Богданов)
Очень сложная
Неравенства
ВсОШ 2022, 11 класс, задача 6
(20 баллов) Дано натуральное число n. Саша утверждает, что для любых n лучей в пространстве, никакие два из которых не имеют общих точек, он сможет отметить на этих лучах k точек, лежащих на одной сфере. При каком наибольшем k его утверждение верно? (А. Кузнецов)
Очень сложная
Стереометрия
ВсОШ 2022, 11 класс, задача 7
(20 баллов) Для натурального числа N рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из N вычёркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от N. (С. Берлов, Ф. Петров, Д. Крачун)
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2022, 11 класс, задача 8
(20 баллов) Из каждой вершины треугольника ABC провели внутрь него два луча, красный и синий, симметричные относительно биссектрисы соответствующего угла. Около треугольников, образованных при пересечении лучей одного цвета, описали окружности. Докажите, что если описанная окружность треугольника AB
(20 баллов) Назовём главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a=b. (А.С. Голованов)
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2022, 10 класс, задача 2
(20 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC отмечены точки D и E так, что BD=CE. На дуге DE описанной окружности треугольника ADE, не содержащей точку A, нашлись такие точки P и Q, что AB=PC и AC=BQ. Докажите, что AP=AQ. (А. Кузнецов)
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2022, 10 класс, задача 3
(20 баллов) Изначально на доске написана пара чисел (1,1). Если для некоторых x и y на доске написана одна из пар (x,y-1) и (x+y,y+1), то можно дописать другую. Аналогично, если на доске написана одна из пар (x,xy) и (frac1x,y), то можно дописать другую. Докажите, что в каждой выписанной паре первое
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
ВсОШ 2022, 10 класс, задача 4
(20 баллов) Дано натуральное число n>4. На плоскости отмечены n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Василий проводит по одному все отрезки, соединяющие пары отмеченных точек. На каждом шаге, проводя очередной отрезок S, Василий помечает его наименьшим натуральным числом, которым
(20 баллов) На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести? (И. Богданов)
Очень сложная
Неравенства
ВсОШ 2022, 10 класс, задача 6
(20 баллов) Дано натуральное число n>5. На кольцевой полоске бумаги написана последовательность из нулей и единиц. Для каждой последовательности w из n нулей и единиц посчитали количество способов вырезать из полоски фрагмент, на котором написана w. Оказалось, что наибольшее количество M достигается
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7
(20 баллов) На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E, а на стороне AD — точка F так, что описанная окружность треугольника ABE касается отрезка CF. Докажите, что описанная окружность треугольника CDF касается прямой AE. (А. Кузнецов, П. Кожевников)
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2022, 10 класс, задача 8
(20 баллов) Для натурального числа N рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из N вычёркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от N. (С. Берлов, Ф. Петров, Д. Крачун)
(20 баллов) Назовём главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a=b. (А.С. Голованов)
Сложная
Теория чисел
ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2
(20 баллов) Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, внешние биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке J. Окружность ωb с центром в точке Ob проходит через точку B и касается прямой CI в точке I. Окружность ωc с центром в точке Oc проход
Сложная
Планиметрия
ВсОШ 2022, 9 класс, задача 3
(20 баллов) В строку выписаны 200 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел строки правое либо в 9 раз больше левого, либо в 2 раза меньше левого. Может ли сумма всех этих 200 чисел равняться 242022? (О. Подлипский, И. Богданов)
Сложная
Теория чисел
ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4
(20 баллов) В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт
(20 баллов) Дана бесконечная последовательность чисел a1,a2,ldots, в которой нет двух равных членов. Отрезок ai,ai+1,ldots,ai+m-1 этой последовательности назовём монотонным отрезком длины m, если выполнены неравенства aii+1i+m-1
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2022, 9 класс, задача 6
(20 баллов) Для какого наименьшего натурального числа a существуют целые числа b и c такие, что квадратный трёхчлен ax2+bx+c имеет два различных положительных корня, не превосходящих frac1{1000}? (А. Храбров)
Сложная
Алгебра
ВсОШ 2022, 9 класс, задача 7
(20 баллов) В стране 998 городов. Некоторые пары городов соединены двусторонними авиарейсами. Согласно закону, между любой парой городов должно быть не больше одного рейса. Другой закон требует, чтобы для любой группы городов было не больше 5k+10 рейсов, соединяющих два города этой группы, где k — к
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2022, 9 класс, задача 8
(20 баллов) В треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся стороны BC в точке K. Окружность ω' симметрична окружности ω относительно точки A. Точка A0 выбрана так, что отрезки BA0 и CA0 касаются ω'. Пусть M — середина стороны BC. Докажите, что прямая AM делит отр
