ВсОШ 2022, 9 класс, задача 6
( баллов) Для какого наименьшего натурального числа существуют целые числа и такие, что квадратный трёхчлен имеет два различных положительных корня, не превосходящих ? (А. Храбров)
Ответ. .
Первое решение. Докажем, что . Заметим, что если — корень трёхчлена , то — корень трёхчлена . Поэтому в задаче нужно найти наименьшее натуральное , для которого корни и некоторого трёхчлена (с целыми и ) больше . Поскольку и положительны и (по теореме Виета), имеем .
Если , то . Поскольку меньший корень не меньше , больший корень не меньше , а тогда . Если же , то . В обоих случаях требуемая оценка доказана.
Осталось заметить, что трёхчлен имеет корни и , поэтому подходит.
Второе решение. Положим для краткости . Пусть и — два различных корня трёхчлена , причём . Тогда число отрицательно, а число положительно. Более того, имеем , откуда .
Поскольку корни различны, дискриминант положителен. Следовательно, и, значит, . Поэтому . Пусть , где — натуральное число.
Предположим, что . Тогда и . Стало быть,
и, значит, . Следовательно, и . Это противоречие показывает, что .
Если же , то при и трёхчлен имеет корни и .