ВсОШ 2024, 9 класс, задача 7
На доске написаны различных квадратных трёхчленов; среди них нет двух, дающих в сумме нулевой многочлен. Оказалось, что если выбрать любые два трёхчлена (x), (x) с доски, то оставшиеся трёхчленов можно обозначить как (x), (x),..., (x) так, что у всех четырёх многочленов , , и есть общий корень. Обязательно ли все трёхчлены на доске имеют общий корень?
Ответ
Ответ. Нет, не обязательно.
Решение. Построим пример 8 квадратных трёхчленов, удовлетворяющих условию задачи:
; ; ;
; ; ;
; .
Данные многочлены составлены так, чтобы их значения в точках соответствовали следующей таблице:
У трёхчленов этого примера нет общего корня (его нет даже у и ). Осталось показать, что они удовлетворяют условию. Очевидно, никакие два из этих трёхчленов не дают в сумме ноль.
Пусть выбрана какая-то пара из этих квадратных трёхчленов. Если была выбрана пара , где , то все многочлены можно разбить на пары ; ; ; , каждая сумма этих пар имеет корень 0.
В противном случае нетрудно убедиться, что значение суммы двух выбранных трёхчленов или в точке , или в точке (а может быть, и в обеих сразу) равняется нулю. Выберем такое . Оставшиеся многочлены в точке принимают значения и ровно по три раза, и их можно разбить на пары так, чтобы в суммы всех четырёх пар равнялись нулю, т. е. было их общим корнем.