ВсОШ 2019, 9 класс, задача 2
При каком наименьшем натуральном существуют такие целые , что квадратный трехчлен имеет по крайней мере один целый корень?
(П. Козлов)
Ответ.
При .
Решение.
При можно положить и ; тогда трехчлен из условия принимает вид и имеет два целых корня: 1 и 7. Осталось показать, что это - наименьшее возможное значение . Пусть числа удовлетворяют условию задачи; тогда деленный на 4 дискриминант квадратного трехчлена из условия должен быть полным квадратом. Он равен .
Тогда число нечетно и является квадратом, поэтому оно дает остаток 1 при делении на 8. Перепишем равенство выше в виде и рассмотрим его по модулю 8. Нетрудно проверить, что четвертые степени целых чисел дают лишь остатки 0 и 1 при делении на 8, то есть правая часть равенства дает остаток 0 или 1. Левая же часть сравнима с , где - количество нечетных чисел среди . Значит, .