ВсОШ 2021, 9 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2021, 9 класс, Второй тур

Числа и таковы, что квадратный трехчлен имеет два различных корня, ровно один из которых лежит на отрезке . Докажите, что ровно один из этих корней лежит в интервале .

(А. Храбров)

Первое решение.

Пусть . Если ровно один корень лежит на отрезке , то трехчлен меняет знак на этом отрезке, то есть . Тогда . Следовательно, на отрезке есть корень, причем, если знак полученного неравенства строгий, то корень ровно один (и он не в конце отрезка). В случае равенства один из корней равен , а второй , причем (иначе на отрезке будет два корня). Тогда на интервале лежит ровно один корень.

Второе решение.

Пусть и - корни данного трехчлена, причем и . По теореме Виета имеем . Тогда и . Итак, из двух корней только лежит в интервале .

Похожие задачи

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 5

Пусть P₁(x) и P₂(x) — приведённые квадратные трёхчлены, а точки A₁ и A₂ — соответственно вершины парабол y=P₁(x) и y=P₂(x). Через m(g(x)) будем обозначать наименьшее значение функции g(x). Известно, что разности m(P₁(P

Сложная

Алгебра

Функции

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 6

(20 баллов) Для какого наименьшего натурального числа a существуют целые числа b и c такие, что квадратный трёхчлен ax²+bx+c имеет два различных положительных корня, не превосходящих frac1{1000}? (А. Храбров)

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2019, 9 класс, задача 2

При каком наименьшем натуральном n существуют такие целые a₁,a₂,ldots,a_n, что квадратный трехчлен x²-2(a₁+a₂+ldots+a_n)²x+(a₁⁴+a₂⁴+ldots+a_n⁴+1) име

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1

(20 баллов) Даны два приведённых квадратных трёхчлена f(x) и g(x); известно, что трёхчлены f(x), g(x) и f(x)+g(x) имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена f(x) равна разности корней трёхчлена g(x). Докажите, что разность корней трёхчлена f(x)+g(x) не больше этих разностей. (В каж

Сложная

Алгебра