При некоторых натуральных n>m число n оказалось представимо в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа m, а также в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа m+1. При каком наибольшем m это
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2021, 11 класс, задача 2
Пусть P(x) - ненулевой многочлен степени n с неотрицательными коэффициентами такой, что функция y=P(x) - нечетная. Может ли оказаться так, что для различных точек A1,A2,ldots,An на графике G: y=P(x) выполняются условия: касательная к графику G в точке A1 п
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2021, 11 класс, задача 3
В языке три буквы - Ш, У и Я. Словом называется последовательность из 100 букв, ровно 40 из которых - гласные (то есть У или Я), а остальные 60 - буква Ш. Какое наибольшее количество слов можно выбрать так, чтобы у любых двух выбранных слов хотя бы в одной из ста позиций одновременно стояли гласные,
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2021, 11 класс, задача 4
В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке I. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекает лучи AA1 и CC1 в точках A2 и C2 соответственно. Точка Oa - центр описанной окружности треугольника
Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди - сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница, и т.д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважды
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2021, 11 класс, задача 6
В тетраэдре SABC длины всех шести ребер различны. Точка A' в плоскости SBC симметрична точке S относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC. Точка B' в плоскости SAC и точка C' в плоскости SAB определяются аналогично. Докажите, что плоскости AB'C', A'BC', A'B'C и ABC имеют общую точку. (А. К
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2021, 11 класс, задача 7
Найдите все перестановки (a1,a2,ldots,a2021) чисел 1,2,ldots,2021 такие, что при любых натуральных m,n, удовлетворяющих условию |m-n|>2021, выполняется неравенство: Σi=12021НОД(m+i,n+ai)1,a2,ldots,a202
Очень сложная
Неравенства
ВсОШ 2021, 11 класс, задача 8
У каждой из 100 девочек есть по 100 шариков; среди этих 10000 шариков есть по 100 шариков 100 различных цветов. Две девочки могут обменяться, передав друг другу по шарику. Они хотят добиться того, чтобы у каждой девочки было по 100 разноцветных шариков. Докажите, что они могут добиться этого такой с
На стороне BC параллелограмма ABCD отмечены точки E и F, причем E лежит между B и F. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямые AE и DF касаются окружности, описанной около треугольника AOD. Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника EOF. (А. Кузнецов)
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2021, 10 класс, задача 2
Найдите все наборы натуральных чисел x1,x2,ldots,x20 такие, что xi+22=НОК(xi+1,xi)+НОК(xi,xi-1) при i=1,2,ldots,20, где x0=x20, x21=x1, x22=x
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2021, 10 класс, задача 3
В стране N городов. Некоторые пары городов связаны двусторонними авиалиниями, каждая пара не более, чем одной. Каждая авиалиния принадлежит одной из k компаний. Оказалось, что из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками), но при закрытии всех авиалиний любой из компаний эт
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2021, 10 класс, задача 4
Дано натуральное число nge4 и 2n+4 карточки, пронумерованные числами 1,2,ldots,2n+4. На карточке с номером m написано вещественное число am, причем [am]=m. Докажите, что можно выбрать 4 карточки так, чтобы сумма чисел на первых двух карточках отличалась от суммы чисел на двух д
Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди - сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница, и т. д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважд
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2021, 10 класс, задача 6
Дан многочлен P(x) степени n>1 с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение P(P(P(x)))=P(x) имеет ровно n3 различных вещественных корней. Докажите, что эти n3 корней можно разбить на две группы с равными средними арифметическими. (А. Кузнецов)
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2021, 10 класс, задача 7
Натуральные числа n>20 и k>1 таковы, что n делится на k2. Докажите, что найдутся натуральные числа a,b и c такие, что n=ab+bc+ca. (А. Храбров)
Очень сложная
Неравенства
ВсОШ 2021, 10 класс, задача 8
В окружность ω вписан пятиугольник ABCDE. Прямая CD пересекает лучи AB и AE в точках X и Y соответственно. Отрезки EX и BY пересекаются в точке P и вторично пересекают окружность ω в точках Q и R. Точка A' симметрична точке A относительно прямой CD. Окружность γ, описанная около треугольника PQR, пе
На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из k цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем k это возм
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2021, 9 класс, задача 2
Пусть n - натуральное число. Целое число a>2 назовем n-разложимым, если an-2n делится на каждое число вида ad+2d, где d - натуральный делитель n, отличный от n. Найдите все составные натуральные n, для которых существует n-разложимое число. (С. Кудря)
Сложная
Теория чисел
ВсОШ 2021, 9 класс, задача 3
На прямой отмечено n+1 различных отрезков; одна из точек прямой принадлежит всем этим отрезкам. Докажите, что среди отмеченных отрезков можно выбрать различные отрезки I и J, пересекающиеся по отрезку длины, не меньшей (n-1/n) d, где d - длина отрезка I. (И. Богданов, В. Уфнаровский)
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2021, 9 класс, задача 4
На стороне AB остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC за точку C - точка E. Оказалось, что прямая, проходящая через E и параллельная AB, касается окружности, описанной около треугольника ADC. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки E к описанной
Числа b>0 и a таковы, что квадратный трехчлен x2+ax+b имеет два различных корня, ровно один из которых лежит на отрезке [-1;1]. Докажите, что ровно один из этих корней лежит в интервале (-b;b). (А. Храбров)
Сложная
Алгебра
ВсОШ 2021, 9 класс, задача 6
Внутри неравнобедренного остроугольного треугольника ABC, в котором angle ABC=60circ, отмечена точка T так, что angle ATB=angle BTC=angle ATC=120circ. Медианы треугольника пересекаются в точке M. Прямая TM пересекает вторично окружность, описанную около треугольника ATC, в точк
Сложная
Планиметрия
ВсОШ 2021, 9 класс, задача 7
Натуральные числа n>20 и k>1 таковы, что n делится на k2. Докажите, что найдутся натуральные числа a,b и c такие, что n=ab+bc+ca. (А. Храбров)
Сложная
Теория чисел
ВсОШ 2021, 9 класс, задача 8
Сотне мудрецов предложили следующее испытание. Их по очереди (в заранее известном порядке) приводят в зал. В зале смотритель предлагает мудрецу на выбор каких-то два различных числа из набора 1,2,3. Мудрец выбирает ровно одно из них, сообщает выбранное число смотрителю и уходит из зала. При этом до
