ВсОШ 2021, 10 класс, задача 1
На стороне параллелограмма отмечены точки и , причем лежит между и . Диагонали и пересекаются в точке . Прямые и касаются окружности, описанной около треугольника . Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника .
(А. Кузнецов)
Первое решение.
Будем обозначать окружность, описанную около треугольника .
Из касания окружности и прямой имеем , а из параллельности имеем (см. рис. 2). Таким образом, , следовательно, четырехугольник вписанный. Аналогично вписанный.
Отсюда, с использованием параллельности , получаем: . Но из равенства следует касание окружности и прямой . Аналогично доказываем касание окружности и прямой .
Второе решение.
Четырехугольник симметричен относительно серединного перпендикуляра к , поэтому линия центров окружностей и - это серединный перпендикуляр к (см. рис. 3). Тогда радикальная ось этих окружностей параллельна и проходит через . Так как равноудалена от и , то - средняя линия трапеции , в частности, проходит через середину отрезка .
Значит, степени относительно и равны, т. е. , где - вторая точка пересечения и . Так как , получаем , откуда следует касание окружности и прямой . Аналогично доказываем касание окружности и прямой .