ВсОШ 2019, 10 класс, задача 6
В остроугольном треугольнике проведена биссектриса . Точки и - соответственно середины меньших дуг и окружности , описанной около треугольника . На продолжении отрезка за точку отмечена точка , а на продолжении отрезка за точку - точка так, что . Докажите, что середина отрезка лежит на прямой .
(А. Кузнецов)
Решение.
Обозначим . Не умаляя общности считаем, что . Поскольку точки и - середины дуг и окружности , имеем и . Обозначим через и середины сторон и соответственно (см. рис. 2). Тогда средняя линия треугольника , она параллельна стороне и проходит через середину отрезка . Также и .
Пусть . Отрезок является медианой в прямоугольном треугольнике , поэтому и ; аналогично, и . Следовательно, и . Так как , то либо точки и лежат на прямой , и в таком случае задача уже решена, либо точка лежит в той же полуплоскости, что и точка относительно прямой , а точка - в другой полуплоскости. Заметим, что биссектриса треугольника , поэтому . Вместе с равенством это означает, что треугольники и подобны. Значит, . Поскольку к тому же точки и лежат в разных полуплоскостях относительно прямой , точки и лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.