ВсОШ 2026, 10 класс, задача 1
Можно ли чисел , , , разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?
Ответ
Ответ: Нет, нельзя.
Решение. Пусть такое разбиение существует, причём в одной из групп оказались числа , , , . Перемножим эти выражения, раскроем скобки. Мы получим слагаемое , слагаемые , а все остальные слагаемые будут иметь вид , где и — целое число. Значит, в сумме получится число вида , где и — целые числа, причём .
Аналогично, если в другой группе окажутся числа , то их произведение будет иметь вид , где и .
Заметим, что
это число нечётно. Значит, число тоже нечётно, а тогда . Однако, поскольку числа и имеют одинаковую дробную часть, то их разность — целое число. Поскольку , это возможно лишь в случае , противоречие.