Заключительный (9–11 классы)

11 класс

Первый тур

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 1

Можно ли 2026 чисел 1+√2, 1+2√2, ldots, 1+2026√2 разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 2

Медианы остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M. На стороне BC отмечены точки K и N так, что BK=KN=NC. Высоты треугольника MKN пересекаются в точке H. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков AH, BH и CH, касается описанной окружности треугольника MKN.

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 3

На олимпиаду приехало несколько участников из n регионов, некоторые из них дружат (дружба всегда взаимна). Выяснилось, что для произвольной рассадки нескольких (хотя бы трёх) участников за круглым столом, при которой любые два соседа дружат, участников из каждого региона за столом окажется не более

Очень сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 4

Пусть P(x) — многочлен степени n с вещественными коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 1. Оказалось, что можно выбрать 100 попарно различных вещественных корней x₁,x₂,ldots,x₁₀₀ у многочлена P(x) и 100 попарно различных вещественных корней y_{1
Очень сложная
Алгебра
Функции}

Второй тур

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 5

Саша поставил фишку в одну из точек координатной плоскости. За одну операцию разрешается переместить фишку, расположенную в точке с координатами (a_i,b_i), в другую точку (a_i+1,b_i+1), если уравнение прямой, соединяющей эти точки, имеет вид y=a_i x+

Очень сложная

Алгебра

Функции

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 6

На доску выписаны 2026 попарно различных натуральных чисел, больших 1. Оказалось, что для любого выписанного числа a найдутся хотя бы k пар выписанных чисел b

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 7

Сфера с центром в точке I вписана в тетраэдр ABCD и касается его граней BCD, CDA, DAB, ABC в точках A₁, B₁, C₁, D₁ соответственно. Отрезок A₁B₁ пересекает плоскость C₁D₁I в точке E. Докажите, что середина ребра A

Очень сложная

Стереометрия

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 8

Даны нечётные числа ale b, большие 1. На клетчатую плоскость (сторона клетки равна 1) выложены по линиям сетки салфетки в форме квадратов 2 × 2 так, что каждая клетка накрыта не более чем одной салфеткой. Оказалось, что для любого клетчатого прямоугольника с горизонтальной стороной a и вертикальной

Очень сложная

Комбинаторика

10 класс

Первый тур

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 1

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 2

Последовательность натуральных чисел a₁,a₂,ldots удовлетворяет равенству a₁+a₂+ldots+a_2n-1=a_n² при всех натуральных n. Найдите все такие последовательности, в которых встречается число 3.

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 3

Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O, а его высоты пересекаются в точке H. Касательные к окружности (BHC) в точке B, к окружности (AHB) в точке A и к окружности (CHA) в точке C ограничивают треугольник T₁. Касательные к окружности (BHC) в точке C,

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 4

Даны натуральные числа m и k, причём m>100 и 1

Очень сложная

Комбинаторика

Второй тур

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 5

Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 6

В стране ровно 1000 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними авиалиниями. Известно, что для любого натурального kle500 выполнено следующее утверждение: «Если выбрать любое множество A из k городов, то найдётся хотя бы k городов, не принадлежащих A, каждый из которых соединён авиалиние

Очень сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 7

На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой.

Очень сложная

Функции

Планиметрия

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 8

Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон a,b,c. Докажите, что хотя бы одно из чисел ab+1, bc+1 и ca+1 не является полным квадратом.

Очень сложная

Теория чисел

9 класс

Первый тур

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 1

Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает Петя. При каком наименьшем k Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце игры количества конфет у мальчиков отличаются

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 2

Назовём натуральное число n странным, если существуют такие попарно различные натуральные числа a, b, c, d и e, большие 1, что n=a^{a^a}=b^{b^c}=d^{e^e}. Конечно или бесконечно количество странных чисел? (Напомним, что x^{y^z} о

Сложная

Теория чисел

Выражения и преобразования

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 3

Дан неравнобедренный треугольник ABC, в котором angle A=60^circ. На стороне BC отмечены точки X и Y таким образом, что 2BX=AB и 2CY=AC. Докажите, что существует окружность, проходящая через точки X и Y, которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника ABC.

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 4

Сложная

Комбинаторика

Второй тур

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 5

У Кати есть 2n катушек с лентами (n — натуральное число). Изначально на катушках намотано 1²,2²,ldots,(2n)² дециметров ленты соответственно. Каждый час Катя выбирает натуральное число i и отрезает по i дециметров ленты от всех катушек, на которых осталось не менее i

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 6

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Из точки A опустили перпендикуляры AP и AQ на продолжения отрезков BO и CO за точку O. Окружность с центром T, проходящая через точки P и Q, касается отрезка BC. Докажите, что TOparallel BC.

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 7

Пусть n — нечётное натуральное число. Дана таблица n × n. Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку (так, расстояние между клетками, соседними по стороне, равно 1). R

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 8

Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон a, b и c. Докажите, что хотя бы одно из чисел ab+1, bc+1 и ca+1 не является полным квадратом.

Сложная

Теория чисел