ВсОШ 2026, 9 класс, задача 2
Назовём натуральное число странным, если существуют такие попарно различные натуральные числа , , , и , большие , что . Конечно или бесконечно количество странных чисел? (Напомним, что означает число, получившееся в результате возведения числа в степень .)
Ответ
Ответ: Бесконечно.
Решение. Если число чётно, то кратно четырём и, значит, число представляет собой четвёртую степень некоторого натурального числа. Тогда его можно представить и в виде для и подходящего .
Положим для чётного . Тогда , и . Следовательно, при будет выполнено равенство . Осталось понять, что в этом случае числа , , , и будут различными. По построению . Поскольку , число будет больше, чем .
Таким образом, для любого чётного число при будет странным. Поэтому странных чисел бесконечно много.
Замечание. Существуют и другие примеры. Например, можно положить для произвольного (не обязательно чётного) , имеющего вид при . Также существуют конструкции, когда и т. п.