ВсОШ 2024, 9 класс, задача 1
Петя и Вася знают лишь натуральные числа, не превосходящие . Петя считает хорошими числа, представимые в виде , где , и — натуральные числа, не меньшие . Вася считает хорошими числа, представимые в виде , где , и — натуральные числа, большие . Для кого из них хороших чисел больше? ( И. Богданов )
Ответ. Для Васи.
Решение. Если число хорошее для Пети, то (также натуральное) число = ()()() - () - () - () является хорошим для Васи. Значит, если для Пети есть хороших чисел, то мы предъявили различных чисел, хороших для Васи, и все они строго меньше, чем . Но число = ()()-()( также является хорошим для Васи; поэтому для Васи есть хотя бы хорошее число.