ВсОШ 2025, 9 класс, задача 3
Найдите все натуральные , для которых существует такое чётное натуральное , что число является точным квадратом.
Ответ. и .
Решение. Для подойдёт любое чётное вида , например . Для подойдёт любое чётное вида , например .
Предположим, что для нашлось требуемое число . Тогда число
является точным квадратом. Поскольку , числа и взаимно просты. Раз число нечётно, числа и также взаимно просты. Следовательно, числа и — точные квадраты. В частности, число при делении на может давать лишь остаток или , а тогда число не делится на . Отсюда
Значит, числа и также являются точными квадратами. Но второе являться квадратом не может, поскольку . Противоречие.
Осталось доказать, что требуемого не существует при . Предположим, что такое нашлось. Возьмём такое натуральное , что . Поскольку
,
число представляется в виде произведения и нескольких множителей вида , где и .
Докажем, что множитель взаимно прост со всеми остальными множителями в этом разложении. Пусть и имеют некоторый общий делитель . Тогда и кратен . Но
Поскольку и , число не может делиться на . Таким образом, — степень двойки, не превосходящая . Следовательно, делится на , а значит, делится и на . Поскольку чётно, числа и не имеют общих делителей, отличных от , значит, , что и требовалось.
Множитель взаимно прост со всеми остальными множителями в произведении, являющемся точным квадратом, поэтому он сам является точным квадратом. Тогда и — отличающиеся на квадраты натуральных чисел, что невозможно. Значит, наше предположение неверно, и для требуемых чисел не найдётся.