На доску выписали 777 попарно различных комплексных чисел. Оказалось, что можно ровно 760 способами выбрать два числа a и b, записанных на доске, так, чтобы выполнялось равенство a2+b2+1=2ab. Способы, которые отличаются перестановкой чисел, считаются одинаковыми. Докажите, что
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2025, 11 класс, задача 2
Дана прямая призма ABCA1B1C1. Известно, что треугольники A1BC, AB1C, ABC1 и ABC — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной сфере.
Очень сложная
Стереометрия
ВсОШ 2025, 11 класс, задача 3
Пару многочленов F(x,y) и G(x,y) с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на 100 обеих разностей F(a,b)-F(c,d) и G(a,b)-G(c,d), где a, b, c, d — целые, следует, что числа a-c и b-d делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов P(x,y), Q(x,y), что пара многочленов P(x,y
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
ВсОШ 2025, 11 класс, задача 4
Дано натуральное число N. Куб со стороной 2N+1 сложен из (2N+1)3 единичных кубиков, каждый из которых — либо чёрный, либо белый. Оказалось, что среди любых 8 кубиков, имеющих общую вершину и образующих куб 2 × 2 × 2, не более 4 чёрных кубиков. Какое наибольшее количество чёрных кубиков мо
Дано натуральное число n. Натуральные числа 1, 2,..., n выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех n-1 выписанных
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
ВсОШ 2025, 11 класс, задача 6
По кругу выписаны 100 единиц. Петя и Вася играют в игру, каждый делает по 109 ходов. Петя каждым своим ходом выбирает 9 стоящих подряд чисел и уменьшает каждое из них на 2. Вася каждым своим ходом выбирает 10 стоящих подряд чисел и увеличивает каждое из них на 1. Ребята ходят по очереди,
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2025, 11 класс, задача 7
Четырёхугольник ABCD, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность Ω. В треугольники DAB, ABC, BCD, CDA вписаны окружности ωa, ωb, ωc, ωd соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям ωa и ωb, ωb
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2025, 11 класс, задача 8
Пусть f — непрерывная функция из R в R. Хордой будем называть отрезок целой длины, параллельный оси абсцисс, концы которого лежат на графике функции f. Известно, что у графика функции f ровно N хорд, причём среди них есть хорда длины 2025. Найдите наименьшее возможное значение N.
Петя и Вася играют в игру на изначально пустой клетчатой таблице 100 × 100, делая ходы по очереди. Начинает Петя. За свой ход игрок вписывает в некоторую пустую клетку любую заглавную букву русского алфавита (в каждую клетку можно вписать ровно одну букву). Когда все клетки будут заполнены, Петя объ
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2025, 10 класс, задача 2
Внутри треугольника ABC отмечена точка P. На отрезке AB отмечена точка Q, а на отрезке AC — точка R так, что описанные окружности треугольников BPQ и CPR касаются прямой AP. Через точки B и C провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника BPC, а через точки Q и R — прямые,
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2025, 10 класс, задача 3
Найдите все натуральные n, для которых существует такое чётное натуральное a, что число (a-1)(a2-1)ldots(an-1) является точным квадратом.
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2025, 10 класс, задача 4
На плоскости отмечены 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и проведены все отрезки между ними. Гриша поставил на каждом проведённом отрезке вещественное число, по модулю не превосходящее 1, и для каждой шестёрки отмеченных точек посчитал сумму чисел на всех 15 отрезках, соединя
Дано натуральное число n. Натуральные числа 1, 2,..., n выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех n-1 выписанных
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
ВсОШ 2025, 10 класс, задача 6
При каком наименьшем k для любого многочлена f(x) степени 100 с вещественными коэффициентами найдётся такой многочлен g(x) степени не выше k с вещественными коэффициентами, что графики y=f(x) и y=g(x) имеют ровно 100 общих точек?
Очень сложная
Алгебра
Функции
ВсОШ 2025, 10 класс, задача 7
В программу соревнования входит 25 видов спорта, в каждом из которых определяется один победитель, получающий золотую медаль. В соревновании участвуют 25 спортсменов, каждый — во всех 25 видах спорта. Имеется 25 экспертов, каждый из которых должен сделать прогноз, сколько золотых медалей получит каж
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2025, 10 класс, задача 8
На периметре треугольника ABC выбраны точки D1, D2, E1, E2, F1, F2 так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке A, F1, F2, B, D1, D2, C, E1, E2. Оказалось,
На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведённых линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить кажды
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2025, 9 класс, задача 2
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Точки касания описанных окружностей треугольников ABE и CDE с их общими внешними касательными лежат на окружности ω. Точки касания описанных окружностей треугольников ADE и BCE с их общими внешними касательными лежат на окружности γ.
Сложная
Планиметрия
ВсОШ 2025, 9 класс, задача 3
Найдите все натуральные n, для которых существует такое чётное натуральное a, что число (a-1)(a2-1)ldots(an-1) является точным квадратом.
Сложная
Теория чисел
ВсОШ 2025, 9 класс, задача 4
Шахматного короля поставили на клетку доски 8 × 8 и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результат
Пусть P1(x) и P2(x) — приведённые квадратные трёхчлены, а точки A1 и A2 — соответственно вершины парабол y=P1(x) и y=P2(x). Через m(g(x)) будем обозначать наименьшее значение функции g(x). Известно, что разности m(P1(P
Сложная
Алгебра
Функции
ВсОШ 2025, 9 класс, задача 6
Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа a, b, c и заменить число b на a-b+c. При каком наибольшем k Петя мог выбрать исходные числа
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2025, 9 класс, задача 7
В строку выписаны числа 1, 2, 3,..., 60 (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки +, - и × между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на 3,
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2025, 9 класс, задача 8
На периметре треугольника ABC выбраны точки D1, D2, E1, E2, F1, F2 так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке A, F1, F2, B, D1, D2, C, E1, E2. Оказалось,
