ВсОШ 2025, 9 класс, задача 8

Сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2025, 9 класс, Второй тур

На периметре треугольника выбраны точки , , , , , так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке , , , , , , , , . Оказалось, что . Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых , , и , , , равны.

Решение. Начнём со следующей полезной леммы.

Лемма. Пусть точки и выбраны соответственно на сторонах и параллелограмма так, что . Тогда точка равноудалена от прямых и .

Первая схема к решению задачи 9.8

Доказательство. Поскольку и , имеем . Так как , отсюда и следует, что расстояния от точки до прямых и равны.

Перейдём к решению. Пусть прямые из условия образуют треугольники и . Выберем точку так, что — параллелограмм; согласно лемме, точка равноудалена от прямых , , и . Значит, существует окружность с центром , касающаяся этих прямых в некоторых точках , , и соответственно.

Вторая схема к решению задачи 9.8

Тогда из равенств отрезков касательных вытекает, что

и

Аналогично получаем, что и . Складывая полученные три равенства, получаем требуемое равенство периметров.

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4

(20 баллов) В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 4

На стороне AB остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC за точку C - точка E. Оказалось, что прямая, проходящая через E и параллельная AB, касается окружности, описанной около треугольника ADC. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки E к описанной
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, внешние биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке J. Окружность ωb с центром в точке Ob проходит через точку B и касается прямой CI в точке I. Окружность ωc с центром в точке Oc проход
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 8

(20 баллов) В треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся стороны BC в точке K. Окружность ω' симметрична окружности ω относительно точки A. Точка A0 выбрана так, что отрезки BA0 и CA0 касаются ω'. Пусть M — середина стороны BC. Докажите, что прямая AM делит отр
Сложная
Планиметрия