ВсОШ 2022, 9 класс, задача 8
( баллов) В треугольник вписана окружность , касающаяся стороны в точке . Окружность симметрична окружности относительно точки . Точка выбрана так, что отрезки и касаются . Пусть — середина стороны . Докажите, что прямая делит отрезок пополам. (А. Шевцов)
Решение. Пусть точки , и симметричны относительно точкам , и соответственно. Тогда окружность вписана в треугольник и касается в точке . Медиана является средней линией в треугольниках и , так что . Поскольку — середина , утверждение задачи равносильно тому, что прямая содержит среднюю линию треугольника (параллельную ), то есть утверждение равносильно параллельности .
Пусть касается и в точках и соответственно, а касается отрезков , , и в точках , , и соответственно. Заметим, что . Аналогично, если вписанная окружность треугольника касается в точке , то . Однако
так что , и потому .
Из доказанного следует, что вневписанные окружности треугольников и также касаются отрезка в одной и той же точке , симметричной относительно (поскольку ). Гомотетия с центром , переводящая прямую в прямую , переводит вневписанную окружность треугольника в окружность , то есть точку — в . Значит, лежит на прямой ; но, поскольку , имеем , то есть , что и требовалось.
Замечание 1. После первого абзаца решение также можно завершить применением теоремы Брианшона к описанному (около ) шестиугольнику . Теорема утверждает, что три главных диагонали , , этого шестиугольника пересекаются в одной точке или попарно параллельны; в нашей задаче реализуется второй случай, то есть .
Замечание 2. Из утверждения задачи следует, что центр вписанной окружности треугольника лежит на . Существуют способы решить задачу, доказав этот факт.