ВсОШ 2021, 9 класс, задача 4
На стороне остроугольного треугольника отмечена точка , а на продолжении стороны за точку - точка . Оказалось, что прямая, проходящая через и параллельная , касается окружности, описанной около треугольника . Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки к описанной окружности треугольника , отсекает от угла треугольник, подобный треугольнику .
(А. Кузнецов, С. Берлов)
Решение.
Пусть прямая, проходящая через и параллельная , пересекает прямую в точке (см. рис. 1).
Поскольку треугольники и подобны, имеем .
Заметим, что дуга описанной окружности треугольника равна ; тому же равна дуга описанной окружности треугольника . Из равенства выше получаем, что конфигурация из трех точек и окружности подобна конфигурации из точек и окружности .
Рассмотрим в первой конфигурации луч , соответственный лучу во второй. Поскольку касается , луч касается . Кроме того, . Поэтому луч отсекает от угла треугольник, два угла которого равны и , то есть этот треугольник подобен треугольнику .