ВсОШ 2024, 9 класс, задача 6
Высоты остроугольного треугольника , в котором , пересекаются в точке , а - центр описанной около него окружности . Отрезок пересекает описанную около треугольника окружность в точке , отличной от и . Окружность, описанная около треугольника , пересекает меньшую дугу окружности в точке . Докажите, что прямая делит отрезок пополам. (А. Терёшин)
Первое решение. Пусть и - точки, симметричные точкам и относительно середины стороны соответственно (см. рис. 2). Тогда - параллелограмм. Так как , точки и лежат на окружности . При этом, поскольку , точка диаметрально противоположна точке на этой окружности; следовательно, проходит через . Вспоминая, что , получаем ; это и означает, что точки , и лежат на одной прямой, делящей пополам.
Второе решение. Поскольку , окружность симметрична окружности относительно ; пусть - центр окружности , а - середина . Тогда - ещё и середина .
Как известно, (это доказывается, например, с помощью гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом ). Поэтому . Поскольку , четырёхугольник - параллелограмм.
Пусть - точка на луче такая, что . Тогда . Кроме того, из равнобедренности треугольника получаем, что , поэтому треугольники и равны. Значит, .
Поскольку - средняя линия в треугольнике , получаем , то есть - биссектриса угла . Но в окружности имеем , так что - середина дуги , а потому - внешняя биссектриса угла . Отсюда и следует, что углы и смежные, то есть точки , и лежат на одной прямой.
Замечание. Приведём ещё несколько свойств конфигурации, которые могут оказаться полезными для решения (все обозначения взяты из решений выше).
Точки и симметричны относительно прямой ; в частности, .
Можно указать ещё несколько точек, лежащих на окружности . Например, это точка пересечения отрезка с окружностью , а также точка, диаметрально противоположная точке в окружности .