ВсОШ 2026, 9 класс, задача 6
Точка — центр окружности, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника . Из точки опустили перпендикуляры и на продолжения отрезков и за точку . Окружность с центром , проходящая через точки и , касается отрезка . Докажите, что .
Решение 1. Заметим, что существует две окружности, проходящие через точки и и касающиеся прямой ; при этом точки их касания с лежат по разные стороны от прямой . Поскольку эта прямая не пересекает отрезка , максимум одна из этих окружностей касается отрезка . Значит, окружность с центром из условия определена однозначно; покажем, как построить её другим способом.
Пусть — высота в треугольнике . Четырёхугольники , и вписаны в окружности с диаметрами , и соответственно, поэтому
аналогично, . Кроме того,
то есть описанная окружность треугольника касается отрезка . Значит, она и является окружностью из условия.
Поскольку эта окружность касается , её центр лежит на высоте . Теперь имеем . Значит, точки лежит на одной окружности с точками , и , то есть на окружности с диаметром , и потому . Поскольку , отсюда и следует, что .
Решение 2. Обозначим через радиус описанной окружности треугольника . Заметим опять же, что точки и лежат на окружности с диаметром . Пусть — середина дуги этой окружности. Тогда — внешняя биссектриса угла , а значит, и угла . Поскольку , эта биссектриса параллельна , то есть расстояния от и до прямой равны, и оба равны . С другой стороны, по теореме синусов имеем , поэтому окружность с центром и радиусом проходит через и и касается .
Пусть, не умаляя общности, . Тогда , следовательно, луч пересекается с лучом , а точка ближе к точке , чем к точке , поэтому окружность будет касаться луча . Как и в начале первого решения, можно получить, что такая окружность единственна, а значит, точка совпадает с . При этом, как мы уже видели выше, .