ВсОШ 2025, 11 класс, задача 7
Четырёхугольник , в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность . В треугольники , , , вписаны окружности , , , соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям и , и , и , и , не содержащие сторон четырёхугольника . Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на четырёх проведённых прямых (именно в таком порядке), вписан в окружность . Докажите, что прямые, соединяющие центры окружностей и , и , и , пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть, не умаляя общности, лучи и пересекаются в точке , лучи и — в точке . Обозначим центр окружности через , точки , , определим аналогично. Обозначим четырёхугольник, образованный четырьмя касательными, через (прямая — общая внешняя касательная к и , аналогично с тремя другими сторонами).
В силу леммы о трезубце для треугольников и , точки , , , лежат на одной окружности (с центром в середине дуги окружности ). Пусть прямая пересекает стороны и в точках и , а также пересекает прямую в точке . Обозначим в четырёхугольнике : , . Тогда в силу вписанности четырёхугольников и выполняются равенства углов
Следовательно, и . В частности, , поэтому точка лежит на луче и
Последнее равенство означает, что прямая параллельна биссектрисе угла . Поскольку прямая симметрична прямой относительно линии центров , мы получаем, что , а также прямая проходит через точку . Определим аналогично точки , , и получим, что эти точки лежат на прямых , , , , которые параллельны сторонам четырёхугольника .
Как мы поняли выше, прямая параллельна биссектрисе угла . Рассуждая аналогично, мы получаем, что этой биссектрисе параллельна прямая , а прямые и параллельны биссектрисе угла . Поскольку , то биссектриса угла перпендикулярна прямой . Таким образом, соседние стороны четырёхугольника перпендикулярны, то есть это прямоугольник. Значит, он вписан в окружность, обозначим её через , центр которой — точка пересечения диагоналей. Таким образом, достаточно доказать, что центры окружностей , и лежат на одной прямой.
Мы докажем, что у этих трёх окружностей общая радикальная ось, причём на ней лежат точки , , , . Обозначим через описанную окружность четырёхугольника . Тогда точка — радикальный центр окружностей , и , поскольку она лежит на двух их радикальных осях. Значит, радикальная ось окружностей и проходит через точку ; аналогично, на ней лежат и точки , , . В частности, эти четыре точки лежат на одной прямой.
Пусть прямая пересекает сторону в точке и сторону в точке . Поскольку , то , поэтому четырёхугольник — вписанный. Поскольку и , то по теореме Фалеса
Из этого равенства отношений и вписанности мы получаем
То есть степень точки относительно окружностей и одинакова. Рассуждение для точек , , аналогично. Итого доказано, что у окружностей , и есть общая радикальная ось. Следовательно, их центры лежат на одной прямой, что и требовалось.