ВсОШ 2019, 10 класс, задача 4
Дан остроугольный треугольник , в котором . Окружность проходит через точки и и пересекает отрезки и повторно в точках и соответственно. Описанные окружности треугольников и пересекаются повторно в точке . Отрезки и пересекаются в точке . Точки и симметричны относительно прямых и . Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
(Д. Прокопенко)
Решение.
Используя окружности и , получаем и аналогично . Тем самым, . Из этого подобия вытекает, что и . Следовательно , и существует поворотная гомотетия с центром , переводящая в . Угол поворота для равен (см. рис. 3).
Треугольник равен треугольнику , который в свою очередь подобен треугольнику (так как вписанный). Итак, треугольники и подобны и одинаково ориентированы, поэтому и, значит, . Аналогично, . Тогда . Но . Итак, мы доказали равенство , из которого следует утверждение задачи.
Замечание 1.
Фактически в решении используется известное описание точки Микеля четверки прямых как центра поворотной гомотетии, переводящей в .
Замечание 2.
Равенства углов можно доказать разными способами. Укажем ещё одну из возможных схем. Пусть и проекции на и соответственно. Можно показать, что точки лежат на одной окружности с диаметром . Прямые и радикальные оси трех окружностей из условия, они пересекаются в одной точке . Отсюда несложно понять, что четверка прямых гармоническая. Проецируя из на , получаем, что гармонический. Отсюда , откуда (а также , из чего следуют нужные равенства углов.