ВсОШ 2019, 11 класс, задача 6
На стороне равнобедренного треугольника с основанием взята точка . На меньшей дуге окружности, описанной около треугольника , выбрана точка . Луч пересекает прямую, параллельную и проходящую через , в точке . Пусть - середина отрезка . Докажите, что .
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение.
Продлим отрезок на его длину за точку , получим точку такую, что параллелограмм. Поскольку , для решения задачи достаточно показать, что , или что точки лежат на одной окружности (см. рис. 3). 
Пусть пересекает в точке ; тогда , и равнобокая трапеция. Мы докажем, что точки и лежат на окружности , описанной около треугольника . Имеем , значит, лежит на окружности . Из окружности, описанной около трапеции , имеем , поэтому лежит на окружности , что и требовалось доказать.