ВсОШ 2019, 11 класс, задача 6

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2019, 11 класс, Второй тур

На стороне равнобедренного треугольника с основанием взята точка . На меньшей дуге окружности, описанной около треугольника , выбрана точка . Луч пересекает прямую, параллельную и проходящую через , в точке . Пусть - середина отрезка . Докажите, что .

(А. Кузнецов)

Войдите, чтобы проверять ответы

Решение.

Продлим отрезок на его длину за точку , получим точку такую, что параллелограмм. Поскольку , для решения задачи достаточно показать, что , или что точки лежат на одной окружности (см. рис. 3). Рисунок 3 к решению задачи 11.6

Пусть пересекает в точке ; тогда , и равнобокая трапеция. Мы докажем, что точки и лежат на окружности , описанной около треугольника . Имеем , значит, лежит на окружности . Из окружности, описанной около трапеции , имеем , поэтому лежит на окружности , что и требовалось доказать.

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 5

Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2019, 11 класс, задача 8

Дано натуральное n. Из 26 единичных белых кубиков и одного чёрного кубика собирается куб 3 × 3 × 3 так, что чёрный кубик находится в его центре. Из n3 таких кубов с ребром 3 составили куб с ребром 3n. Какое наименьшее количество белых кубиков можно перекрасить в красный цвет так, чтобы ка
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2019, 10 класс, задача 4

Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AC1 и B1 соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и A1B1C пересекаются повторно в точке P. Отрезки AB1 и BA1 пересекаются в точке S. Точки Q и R симметричны S относительно прямых C
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 6

Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром в точке O, его высоты пересекаются в точке H. Через точку O проведена прямая, перпендикулярная AH, а через точку H - прямая, перпендикулярная AO. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами AB и AC лежат на о
Очень сложная
Планиметрия