ВсОШ 2024, 11 класс, задача 6
Остроугольный неравнобедренный треугольник вписан в окружность с центром в точке , его высоты пересекаются в точке . Через точку проведена прямая, перпендикулярная , а через точку - прямая, перпендикулярная . Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами и лежат на одной окружности, которая касается окружности . (А. Кузнецов)
Решение. Пусть прямая повторно пересекает окружность в точке (см. рис. 10). Тогда прямая, проведённая по условию через - серединный перпендикуляр к хорде , пусть она пересекает стороны и в точках и , а прямая через из условия задачи пересекает их в точках и . Поскольку , то окружность касается окружности в точке . При симметрии относительно окружность переходит в себя, а окружность переходит в окружность , тогда она тоже касается окружности .
Поскольку , то . Следовательно, четырёхугольник - вписанный. Тогда . Значит, в силу сказанного выше, , поэтому точка лежит на окружности . Аналогично, на этой окружности лежит и точка , откуда и следует требуемое.
Замечание. Можно рассуждать несколько иначе: установить (похожими равенствами углов), что точки , , , лежат на одной окружности, а также что окружности и касаются окружности в точке . Однако эти три окружности не могут быть различными, поскольку в таком случае их радикальные оси не пересекаются в одной точке, в чём нетрудно убедиться. Значит, все эти окружности совпадают, что нам и требовалось.