ВсОШ 2026, 10 класс, задача 5

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2026, 10 класс, Второй тур

Существует ли выпуклый -угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: Да, существует.

Решение. Возьмем правильный -угольник , выделим в нем вершину . Нужный нам пример — -угольник с вершинами во всех вершинах , кроме вершины .

Действительно, любая диагональ многоугольника служит также диагональю в . Поэтому в имеется хотя бы диагоналей направления, перпендикулярного . Среди этих $99 $ диагоналей заведомо найдется диагональ : точно подойдет любая из этих диагоналей, не проходящая через вершину и соседние с ней вершины.

Замечание. На аналогичный вопрос для выпуклого -угольника ответ положительный для всех , кроме . Для четных примером является правильный -угольник; при нечетных — правильный -угольник с вычеркнутой вершиной, как в решении; также нетрудно показать, что требуемого 5-угольника не существует.

Похожие задачи

ВсОШ 2019, 11 класс, задача 6

На стороне AC равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята точка D. На меньшей дуге CD окружности, описанной около треугольника BCD, выбрана точка K. Луч CK пересекает прямую, параллельную BC и проходящую через A, в точке T. Пусть M - середина отрезка DT. Докажите, что angle AKT=angle CAM.
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2019, 11 класс, задача 8

Дано натуральное n. Из 26 единичных белых кубиков и одного чёрного кубика собирается куб 3 × 3 × 3 так, что чёрный кубик находится в его центре. Из n3 таких кубов с ребром 3 составили куб с ребром 3n. Какое наименьшее количество белых кубиков можно перекрасить в красный цвет так, чтобы ка
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2019, 10 класс, задача 4

Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AC1 и B1 соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и A1B1C пересекаются повторно в точке P. Отрезки AB1 и BA1 пересекаются в точке S. Точки Q и R симметричны S относительно прямых C
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7

(20 баллов) На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E, а на стороне AD — точка F так, что описанная окружность треугольника ABE касается отрезка CF. Докажите, что описанная окружность треугольника CDF касается прямой AE. (А. Кузнецов, П. Кожевников)
Очень сложная
Планиметрия