ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7
( баллов) На стороне параллелограмма отмечена точка , а на стороне — точка так, что описанная окружность треугольника касается отрезка . Докажите, что описанная окружность треугольника касается прямой . (А. Кузнецов, П. Кожевников)
Первое решение.
Обозначим точку касания окружности с отрезком через . Пусть прямая, проходящая через и параллельная , пересекает отрезок в точке (см. рис. ). Тогда (из упомянутых выше касания и параллельности). Значит, четырёхугольник вписанный. Имеем . Следовательно, четырёхугольник вписанный. Тогда , откуда . Значит, прямые , , и ограничивают параллелограмм, откуда . Так как , то точка лежит на окружности . Раз , то окружность касается отрезка в точке , что и требовалось.
Второе решение.
Обозначим через центр окружности , пусть — её радиус и — расстояние от точки до прямой . Обозначим через центр окружности , пусть — её радиус и — расстояние от точки до прямой . Мы докажем более общий факт: (обозначим это равенство через ). В частности, если , то , и первое равносильно касанию прямой и окружности , второе — касанию прямой и окружности . Если , то точки и , а также и симметричны относительно центра параллелограмма, и в силу этой центральной симметрии и , откуда следует .
Иначе без ограничения общности будем считать, что луч пересекает луч , обозначим их точку пересечения через (см. рис. ). Обозначим через углы при вершинах и параллелограмма . Разберём случай , в других случаях рассуждение аналогично. Тогда , поэтому равнобедренные треугольники и подобны, откуда и
Следовательно, треугольники и подобны по углу и отношению заключающих сторон. Значит, и . Тогда , следовательно, , что и требовалось.
Замечание.
Соотношение равносильно тому, что угол между окружностью и прямой равен углу между окружностью и прямой .