В каждой точке A плоскости стоит вещественное число f(A). Известно, что если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то f(M)=f(A)+f(B)+f(C). Докажите, что f(A)=0 для всех точек A. (А. С. Голованов)
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2019, 11 класс, задача 2
Верно ли, что при любых ненулевых целых числах a и b система имеет хотя бы одно решение? (М. Антипов)
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2019, 11 класс, задача 3
Даны n монет попарно различных масс и n чашечных весов, n>2. При каждом взвешивании разрешается выбрать какие-то одни весы, положить на их чаши по одной монете, посмотреть на показания весов и затем снять монеты обратно. Какие-то одни из весов (неизвестно, какие) испорчены и могут выдавать случайным
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2019, 11 класс, задача 4
Дана треугольная пирамида ABCD. Сфера ωA касается грани BCD, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Аналогично, сфера ωB касается грани ACD, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Пусть K - точка касания сферы ωA с плоскостью ACD, а L -
Радиусы пяти концентрических окружностей ω0,ω1,ω2,ω3,ω4 образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем q. При каком наибольшем q можно нарисовать незамкнутую ломаную A0A1A2A3A
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2019, 11 класс, задача 6
На стороне AC равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята точка D. На меньшей дуге CD окружности, описанной около треугольника BCD, выбрана точка K. Луч CK пересекает прямую, параллельную BC и проходящую через A, в точке T. Пусть M - середина отрезка DT. Докажите, что angle AKT=angle CAM.
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2019, 11 класс, задача 7
Даны непостоянный многочлен P(x) с целыми коэффициентами и натуральное число n. Положим a0=n, ak=P(ak-1) при всех натуральных k. Оказалось, что для любого натурального b в последовательности a0,a1,a2,ldots есть число, являющееся b-й с
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2019, 11 класс, задача 8
Дано натуральное n. Из 26 единичных белых кубиков и одного чёрного кубика собирается куб 3 × 3 × 3 так, что чёрный кубик находится в его центре. Из n3 таких кубов с ребром 3 составили куб с ребром 3n. Какое наименьшее количество белых кубиков можно перекрасить в красный цвет так, чтобы ка
В каждой точке A плоскости стоит вещественное число f(A). Известно, что если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то f(M)=f(A)+f(B)+f(C). Докажите, что f(A)=0 для всех точек A. (А. С. Голованов)
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2019, 10 класс, задача 2
Паша и Вова играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Начинает Паша. Изначально перед мальчиками лежит большой кусок пластилина. За один ход Паша может разрезать любой из имеющихся кусков пластилина на три части (не обязательно равные). Вова своим ходом выбирает два куска и слепляет их вместе.
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2019, 10 класс, задача 3
В межгалактической гостинице есть 100 комнат вместимостью 101,102,ldots,200 человек. В этих комнатах суммарно живёт n человек. В гостиницу приехал VIP-гость, для которого нужно освободить целую комнату. Для этого директор гостиницы выбирает одну комнату и переселяет всех её жителей в одну и ту же др
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2019, 10 класс, задача 4
Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AC1 и B1 соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и A1B1C пересекаются повторно в точке P. Отрезки AB1 и BA1 пересекаются в точке S. Точки Q и R симметричны S относительно прямых C
В детском саду воспитательница взяла n>1 одинаковых картонных прямоугольников и раздала их n детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребенок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков -
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2019, 10 класс, задача 6
В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Точки D и E - соответственно середины меньших дуг AB и BC окружности ω, описанной около треугольника ABC. На продолжении отрезка BD за точку D отмечена точка P, а на продолжении отрезка BE за точку E - точка Q так, что angle APB=angle CQB=90
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2019, 10 класс, задача 7
В математическом кружке занимаются 24 школьника. Каждую команду, состоящую из 6 школьников, руководитель считает либо сыгранной, либо несыгранной. Для турнира математических боёв руководитель собирается разбить детей на 4 команды по 6 человек. Может ли оказаться, что при любом разбиении школьников н
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2019, 10 класс, задача 8
Даны непостоянный многочлен P(x) с целыми коэффициентами и натуральное число n. Положим a0=n, ak=P(ak-1) при всех натуральных k. Оказалось, что для любого натурального b в последовательности a0,a1,a2,ldots есть число, являющееся b-й с
На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещенными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой. (С. Волчёнков)
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2019, 9 класс, задача 2
При каком наименьшем натуральном n существуют такие целые a1,a2,ldots,an, что квадратный трехчлен x2-2(a1+a2+ldots+an)2x+(a14+a24+ldots+an4+1) име
Сложная
Алгебра
ВсОШ 2019, 9 класс, задача 3
Окружность Ω с центром в точке O описана около остроугольного треугольника ABC, в котором AB
Сложная
Планиметрия
ВсОШ 2019, 9 класс, задача 4
В лагерь приехали 10000 детей, каждый дружит ровно с 11 другими детьми в лагере (дружба взаимна). Каждый ребенок носит футболку одного из семи цветов радуги, причем у любых двух друзей цвета различны. Вожатые потребовали, чтобы какие-нибудь дети (хотя бы один) надели футболки других цветов (из тех ж
В детском саду воспитательница взяла n>1 одинаковых картонных прямоугольников и раздала их n детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребенок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков -
Сложная
Алгебра
ВсОШ 2019, 9 класс, задача 6
На стороне AC равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята точка D. На меньшей дуге CD окружности, описанной около треугольника BCD, выбрана точка K. Луч CK пересекает прямую, параллельную BC и проходящую через A, в точке T. Пусть M - середина отрезка DT. Докажите, что angle AKT=angle CAM.
Сложная
Планиметрия
ВсОШ 2019, 9 класс, задача 7
Среди 16 монет есть 8 тяжёлых - весом по 11 г, и 8 лёгких весом по 10 г, но неизвестно, какие из монет какого веса. Одна из монет - юбилейная. Как за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь узнать, является юбилейная монета тяжёлой или лёгкой? (К. Кноп)
Сложная
Неравенства
ВсОШ 2019, 9 класс, задача 8
Даны числа a,b,c, не меньшие 1. Докажите, что (a+b+c/4) ge√((ab-1/b+c))+√((bc-1/c+a))+√((ca-1/a+b)). (К. Тыщук)
