ВсОШ 2019, 9 класс, задача 6

Сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2019, 9 класс, Второй тур

На стороне равнобедренного треугольника с основанием взята точка . На меньшей дуге окружности, описанной около треугольника , выбрана точка . Луч пересекает прямую, параллельную и проходящую через , в точке . Пусть - середина отрезка . Докажите, что .

(А. Кузнецов)

Решение.

Продлим отрезок на его длину за точку , получим точку такую, что параллелограмм. Поскольку , для решения задачи достаточно показать, что , или что точки лежат на одной окружности (см. рис. 1). Пусть пересекает в точке ; тогда , и

Рисунок 1 к решению задачи 9.6

- равнобокая трапеция. Мы докажем, что точки и лежат на окружности , описанной около треугольника . Имеем , значит, лежит на окружности . Из окружности, описанной около трапеции , имеем , поэтому лежит на окружности , что и требовалось доказать.

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4

(20 баллов) В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 4

На стороне AB остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC за точку C - точка E. Оказалось, что прямая, проходящая через E и параллельная AB, касается окружности, описанной около треугольника ADC. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки E к описанной
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, внешние биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке J. Окружность ωb с центром в точке Ob проходит через точку B и касается прямой CI в точке I. Окружность ωc с центром в точке Oc проход
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 7

(20 баллов) Дана трапеция ABCD, в которой ADparallel BC, а лучи AB и DC пересекаются в точке G. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABC и ACD, пересекаются в точке E. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABD и BCD, пересекаются в т
Сложная
Планиметрия