ВсОШ 2019, 10 класс, задача 7
В математическом кружке занимаются школьника. Каждую команду, состоящую из школьников, руководитель считает либо сыгранной, либо несыгранной. Для турнира математических боёв руководитель собирается разбить детей на команды по человек. Может ли оказаться, что при любом разбиении школьников на команды сыгранными оказываются либо ровно три команды, либо ровно одна, причем и тот, и другой варианты присутствуют?
(И. Богданов)
Ответ
Ответ.
Да, может.
Решение.
Приведём один из возможных примеров. Выделим трех школьников. Будем называть сыгранными команды, в которых содержится или выделенных школьника, а остальные - несыгранными. Выделенные школьники могут либо оказаться в трех разных командах, и тогда мы получим три сыгранные команды и одну несыгранную, либо оказаться все в одной команде, и мы получим одну сыгранную и три несыгранные, либо двое могут оказаться в одной команде и один в другой, в этом случае мы также получаем одну сыгранную и три несыгранные команды. Таким образом, все условия соблюдаются.
Замечание.
Также подходят все примеры, когда выделено нечетное количество школьников, большее и меньшее , и все команды, в которых присутствует нечетное количество выделенных школьников, объявляются сыгранными, а все остальные несыгранными.