ВсОШ 2021, 11 класс, задача 2
Пусть - ненулевой многочлен степени с неотрицательными коэффициентами такой, что функция - нечетная. Может ли оказаться так, что для различных точек на графике выполняются условия: касательная к графику в точке проходит через точку , касательная в точке проходит через точку , , касательная в точке - через точку ?
(Н. Агаханов)
Ответ
Ответ.
Не может.
Первое решение.
Покажем, что при данных условиях на многочлен каждая следующая точка касания лежит по другую сторону от оси , чем предыдущая. Пусть
- данный многочлен,
- его производная. Пусть - это -я точка касания, а - -я. Тогда касательная в точке имеет уравнение . Значит, , откуда .
Разделив это равенство на и перенеся все слагаемые в правую часть, получим при четной степени выражение:
Пусть и одного знака (считаем, что с любым числом одного знака). Если , то выражение в скобках положительно, если же , то оно отрицательно. Такие же знаки будут иметь выражения при остальных степенях: . Значит, если и - одного знака, то равенство невозможно. Итак, любые две последовательные точки касания должны находиться по разные стороны от оси . И в силу нечетности касательная в точке не может пройти через точку .
Второе решение.
Заметим, что функция при и нечетном выпукла на и вогнута на . Многочлен представляется в виде суммы нескольких функций такого вида, потому что является нечетной функцией, а его коэффициенты неотрицательные. Тогда функция также выпукла на и вогнута на . Это означает, что касательная в точке графика с положительной абсциссой вторично не пересекает график в точках с неотрицательной абсциссой, и наоборот. Кроме того, касательная к графику в нуле не имеет с ним больше общих точек. Это означает, что абсциссы точек отличны от нуля, а их знаки чередуются. Тогда у точек и абсциссы одного знака, поэтому касательная в точке не проходит через точку .