ВсОШ 2019, 9 класс, задача 7

Решение.

Обозначим юбилейную монету через Ю. Отложим две неюбилейных монеты и , и разложим оставшиеся монет по на каждую чашу так, чтобы Ю попала на левую. Назовём монету левой или правой, если в этом взвешивании она попала на левую или правую чашу, соответственно.

Случай (=).

Пусть чаши оказались в равновесии. В этом случае либо на каждой чаше по тяжёлых монеты (и тогда и обе тяжёлые), либо по (тогда и лёгкие). В любом случае обе отложенных монеты одинаковы. В этом случае возьмём с левой чаши Ю и ещё одну монету и сравним эту пару с парой и .

Подслучай (=, =).

Пусть снова получено равновесие.

Тогда все монеты , Ю весят одинаково. Сравним их с любыми другими четырьмя левыми монетами. Если весы окажутся в равновесии, то все монет во взвешивании - одного веса. Тогда среди левых монет было монет такого веса; это невозможно. Значит, какая-то чаша перевесит, и мы узнаем, являлись и Ю тяжёлыми или лёгкими.

Подслучай (=,<).

Чаша, содержащая Ю во втором взвешивании, легче. Тогда на этой чаше не может быть двух тяжёлых монет. Сравнив эти две монеты друг с другом, мы в случае неравенства сразу узнаем вес Ю, а в случае равенства сможем сделать вывод о том, что обе монеты на этой чаше - лёгкие. Подслучай (=,>), когда чаша с Ю тяжёлее, аналогичен.

Случай (<).

Пусть левая чаша в первом взвешивании оказалась легче. Тогда среди левых монет не более трех тяжёлых. Сравнив Ю с какой-нибудь левой монетой , мы либо узнаем вес Ю (в случае неравенства), либо найдём две одинаковых монеты (Ю и ). Сравнив эту пару с другой парой левых монет, мы опять же узнаем вес Ю в случае неравенства. В случае же равенства мы найдём левых монеты одного веса, одна из которых - Ю. Как уже отмечалось, они могут быть только лёгкими. Случай (>), когда в первом взвешивании чаша с Ю тяжёлее, аналогичен предыдущему.