ВсОШ 2025, 9 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2025, 9 класс, Второй тур

Пусть и — приведённые квадратные трёхчлены, а точки и — соответственно вершины парабол и . Через будем обозначать наименьшее значение функции . Известно, что разности и оказались равными положительными числами. Найдите угол между прямой и прямой, содержащей ось .

Ответ. .

Решение. Пусть данные трёхчлены —
и , где и — координаты вершин парабол. Тогда , а

Если , то минимальное значение выражения равняется нулю, откуда . Последнее противоречит тому, что — положительное число. Таким образом, , откуда

Аналогично, и .

Теперь условие равенства разностей переписывается в виде . Отсюда, поскольку и , получаем , то есть . Значит, искомый угол равен .

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 6

(20 баллов) Для какого наименьшего натурального числа a существуют целые числа b и c такие, что квадратный трёхчлен ax²+bx+c имеет два различных положительных корня, не превосходящих frac1{1000}? (А. Храбров)

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2019, 9 класс, задача 2

При каком наименьшем натуральном n существуют такие целые a₁,a₂,ldots,a_n, что квадратный трехчлен x²-2(a₁+a₂+ldots+a_n)²x+(a₁⁴+a₂⁴+ldots+a_n⁴+1) име

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2019, 9 класс, задача 5

В детском саду воспитательница взяла n>1 одинаковых картонных прямоугольников и раздала их n детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребенок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков -

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1

(20 баллов) Даны два приведённых квадратных трёхчлена f(x) и g(x); известно, что трёхчлены f(x), g(x) и f(x)+g(x) имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена f(x) равна разности корней трёхчлена g(x). Докажите, что разность корней трёхчлена f(x)+g(x) не больше этих разностей. (В каж

Сложная

Алгебра