ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1
( баллов) Даны два приведённых квадратных трёхчлена и ; известно, что трёхчлены , и имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена равна разности корней трёхчлена . Докажите, что разность корней трёхчлена не больше этих разностей. (В каждой разности из большего корня вычитается меньший.) (И. Богданов)
Первое решение. Заметим, что разность корней приведённого квадратного трёхчлена равна корню из его дискриминанта, то есть .
Пусть два данных трёхчлена - это и . Согласно условию, у них общий дискриминант . Вместо суммы трёхчленов удобно рассмотреть их полусумму - она тоже является приведённым квадратным трёхчленом. Квадрат разности его корней (т.е. дискриминант) равен
Значит, он не больше, чем
Отсюда и следует, что разность корней полусуммы не больше, чем , то есть разность корней каждого из данных трёхчленов.
Замечание. В оценке выше можно было воспользоваться неравенством о средних
Второе решение. Заметим, что любой приведённый квадратный трёхчлен с двумя корнями имеет вид при . При этом разность его корней равна , а его наименьшее значение равно .
Теперь условие означает, что два данных трёхчлена имеют равные наименьшие значения . Наименьшее значение их полусуммы, очевидно, не меньше (оно является полусуммой каких-то значений исходных трёхчленов), то есть оно равно при . Поэтому и разность корней полусуммы, то есть , не превосходит .
Замечание. Практически такое же рассуждение показывает, что утверждение задачи остаётся верным, если вместо двух приведённых трёхчленов рассмотреть два произвольных квадратных трёхчлена с положительными старшими коэффициентами.