(20 баллов) Число x таково, что sin x+operatorname{tg} x и cos x+operatorname{ctg} x - рациональные числа. Докажите, что sin 2x является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. (Н. Агаханов)
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2023, 11 класс, задача 2
(20 баллов) У 100 школьников есть стопка из 101 карточки, которые пронумерованы числами от 0 до 100. Первый школьник перемешивает стопку, затем берёт сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисе
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 11 класс, задача 3
(20 баллов) В каждой строке таблицы 100 × n в некотором порядке стоят числа от 1 до 100, числа в строке не повторяются (в таблице n строк и 100 столбцов). Разрешается поменять местами в строке два числа, отличающиеся на 1, если они не стоят рядом. Оказалось, что с помощью таких операций нельзя получ
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 11 класс, задача 4
(20 баллов) Окружность ω описана около треугольника ABC, в котором ABb, а прямые MH, CI и AC ограничивают треугольник Tc. Описанные окружности треугольников Tb и Tc повторно пересекают окружность ω в точках B' и C' соответственно. Докажите, что точка H лежит на
(20 баллов) Изначально на доске написано 10 единиц. Гриша и Глеб играют в игру, делая ходы по очереди. Своим ходом Гриша возводит некоторые 5 чисел на доске в квадрат. Глеб своим ходом выбирает несколько (возможно, ни одного) чисел на доске и увеличивает каждое из них на 1. Если в течение 10000 ходо
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 11 класс, задача 6
(20 баллов) Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD в точках X, Y, Z и T соответственно. Оказалось, что точки Y и T лежат на окружности ω, построенной на отрезке XZ как на диаметре. Точка P отмечена в плоскости α так, что прямые PY и PT касаются окружности ω. Докажите, что середи
Очень сложная
Стереометрия
ВсОШ 2023, 11 класс, задача 7
(20 баллов) Назовём многочлен P(x) бицелозначным, если числа P(k) и P'(k) целые при любом целом k. Пусть P(x) - бицелозначный многочлен степени d, и пусть Nd - произведение всех составных чисел, не превосходящих d (произведение пустого множества сомножителей считаем равным 1). Докажите, ч
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
ВсОШ 2023, 11 класс, задача 8
(20 баллов) В стране N городов. В ней действует N(N-1) дорог с односторонним движением: по одной дороге из X в Y для каждой упорядоченной пары городов Xne Y. У каждой дороги есть цена её обслуживания. Для данного k=1,ldots,N рассмотрим все способы выделить k городов и N-k дорог так, чтобы из каждого
(20 баллов) Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника T, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол 120circ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Дока
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2023, 10 класс, задача 2
(20 баллов) У 100 школьников есть стопка из 101 карточки, которые пронумерованы числами от 0 до 100. Первый школьник перемешивает стопку, затем берёт сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисе
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 10 класс, задача 3
(20 баллов) Даны натуральные числа a и b такие, что age 2b. Существует ли многочлен P(x) степени больше 0 с коэффициентами из множества {0,1,2,ldots,b-1} такой, что P(a) делится на P(b)? (Т. Коротченко)
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
ВсОШ 2023, 10 класс, задача 4
(20 баллов) С одной стороны теннисного стола выстроилась очередь из n девочек, а с другой — из n мальчиков. И девочки, и мальчики пронумерованы числами от 1 до n в том порядке, как они стоят. Первую партию играют девочка и мальчик с номерами 1, а далее после каждой партии проигравший встаёт в конец
(20 баллов) Найдите наибольшее натуральное число n, для которого произведение чисел n,n+1,n+2,ldots,n+20 делится на квадрат какого-то одного из них. (А. Храбров)
Очень сложная
Теория чисел
ВсОШ 2023, 10 класс, задача 6
(20 баллов) Квадрат 100 × 100 разбит на квадраты 2 × 2. Потом его разбивают на доминошки (прямоугольники 1 × 2 и 2 × 1). Какое наименьшее количество доминошек могло оказаться внутри квадратов разбиения? (С. Берлов)
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 10 класс, задача 7
(20 баллов) Дана трапеция ABCD, в которой ADparallel BC, а лучи AB и DC пересекаются в точке G. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABC и ACD, пересекаются в точке E. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABD и BCD, пересекаются в т
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2023, 10 класс, задача 8
(20 баллов) Дано число a∈(0,1). Положительные числа x0,x1,ldots,xn удовлетворяют условиям x0+x1+ldots+xn=n+a и frac1{x0}+frac1{x1}+ldots+frac1{xn}=n+frac1a. Найдите наименьшее значение выражения x
(20 баллов) Даны два приведённых квадратных трёхчлена f(x) и g(x); известно, что трёхчлены f(x), g(x) и f(x)+g(x) имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена f(x) равна разности корней трёхчлена g(x). Докажите, что разность корней трёхчлена f(x)+g(x) не больше этих разностей. (В каж
Сложная
Алгебра
ВсОШ 2023, 9 класс, задача 2
(20 баллов) Изначально в строку выписывают 250 букв — 125 букв А и 125 букв Б в некотором порядке. Затем за одну операцию можно взять любой кусок из нескольких подряд стоящих букв, среди которых поровну букв А и Б, и переставить буквы в этом куске в обратном порядке, поменяв в этом куске все буквы А
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 9 класс, задача 3
(20 баллов) Каждое натуральное число, большее 1000, окрасили либо в красный, либо в синий цвет. Оказалось, что произведение любых двух различных красных чисел - синее. Может ли случиться, что никакие два синих числа не отличаются на 1? (С. Берлов)
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 9 класс, задача 4
(20 баллов) Точка X лежит строго внутри описанной около треугольника ABC окружности. Обозначим через IB и IC центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон AC и AB соответственно. Докажите, что XIB · XIC>XB · XC. (Д. Бродский)
(20 баллов) Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти 50 кучек и пронумеровать их числами от 1 до 50 так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй - хотя бы два камня, ldots, в пятидесятой - хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходн
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 9 класс, задача 6
(20 баллов) Рассмотрим все 100-значные числа, делящиеся на 19. Докажите, что количество таких чисел, не содержащих цифр 4, 5 и 6, равно количеству таких чисел, не содержащих цифр 1, 4 и 7. (И. Ефремов)
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2023, 9 класс, задача 7
(20 баллов) Дана трапеция ABCD, в которой ADparallel BC, а лучи AB и DC пересекаются в точке G. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABC и ACD, пересекаются в точке E. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABD и BCD, пересекаются в т
Сложная
Планиметрия
ВсОШ 2023, 9 класс, задача 8
(20 баллов) У Пети есть 10000 гирь, среди них нет двух гирь равного веса. Также у него есть чудо-прибор: если положить в него 10 гирь, он сообщит сумму весов каких-то двух из них (при этом неизвестно, каких именно). Докажите, что Петя может использовать чудо-прибор так, чтобы через некоторое время у
