ВсОШ 2023, 11 класс, задача 4
( баллов) Окружность описана около треугольника , в котором . Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Из середины стороны на прямую опущен перпендикуляр . Прямые , и ограничивают треугольник , а прямые , и ограничивают треугольник . Описанные окружности треугольников и повторно пересекают окружность в точках и соответственно. Докажите, что точка лежит на прямой . (А. Кузнецов)
Решение. Обозначим точки пересечения прямой с прямыми , , и через , , и соответственно (см. рис. 4).
Пусть прямые , и повторно пересекают в точках , и соответственно. Обозначим , , , тогда из суммы углов треугольника . Поскольку , имеем . Так как четырёхугольник - вписанный, . Таким образом, , поэтому четырёхугольник - вписанный. Следовательно, . Аналогично , откуда следует, что точки , , , лежат на окружности , построенной на отрезке как на диаметре.
Теперь заметим, что . Однако из вписанности четырехугольника мы получаем, что . Следовательно, точки , и лежат на одной прямой. Аналогично, точки , и лежат на одной прямой.
В силу сказанного выше и вписанности четырёхугольника имеем, что , поэтому . Поскольку четырёхугольник вписанный, . Значит, четырехугольник - вписанный. Тогда радикальные оси его описанной окружности, окружности и окружности пересекаются в одной точке, а это прямые , и . Следовательно, точка лежит на прямой , что и требовалось доказать.
Замечание. Приведём другой способ закончить решение после того, как установлено, что точки , и лежат на одной прямой, и точки , и лежат на одной прямой.
Обозначим через середину дуги . Пусть прямая повторно пересекает окружность в точке . Заметим, что . Следовательно, - биссектриса угла , поэтому на прямой лежит точка . Аналогично, она лежит на прямой . Применяя теорему Паскаля для точек мы получаем, что точка , точка и точка пересечения и лежат на одной прямой. Следовательно, прямые , и пересекаются в одной точке, то есть точка лежит на . Теперь применяем теорему Паскаля для точек и получаем, что точки и вместе с точкой пересечения и лежат на одной прямой. Значит, точка лежит на , что и требовалось.