ВсОШ 2023, 11 класс, задача 6
( баллов) Плоскость пересекает рёбра , , и тетраэдра в точках , , и соответственно. Оказалось, что точки и лежат на окружности , построенной на отрезке как на диаметре. Точка отмечена в плоскости так, что прямые и касаются окружности . Докажите, что середины рёбер , , , и точка лежат в одной плоскости. (А. Кузнецов)
Решение. Из условия задачи мы сразу получаем, что . Обозначим через точку пересечения прямых и , через - точку пересечения прямых и (см. рис. 3). Без ограничения общности можно считать, что точка лежит на отрезках и .
Поскольку точка лежит и в плоскости , и в плоскости , то она лежит на прямой . Аналогично, точка лежит на прямой .
Заметим, что и - высоты треугольника . Тогда - точка пересечения высот этого треугольника, и поэтому . Пусть - середина отрезка . Поскольку , то по свойству медианы прямоугольного треугольника. Значит,
Следовательно, прямая касается окружности . Аналогично, прямая тоже касается окружности , поэтому точки и совпадают.
Рассмотрим две параллельные плоскости и , одна из которых содержит отрезок , а другая - отрезок . Заметим, что середины всех отрезков, соединяющих точку из плоскости и точку из плоскости , лежат в одной плоскости, параллельной и . Действительно, если ввести декартовы координаты так, что одна из плоскостей задаётся уравнением , а другая - уравнением (где есть расстояние между плоскостями и ), то середины всех рассматриваемых отрезков лежат в плоскости . Применяя это наблюдение для отрезков , , , , , мы получаем, что их середины лежат в одной плоскости, что и требовалось.