ВсОШ 2022, 11 класс, задача 6
( баллов) Дано натуральное число . Саша утверждает, что для любых лучей в пространстве, никакие два из которых не имеют общих точек, он сможет отметить на этих лучах точек, лежащих на одной сфере. При каком наибольшем его утверждение верно?
(А. Кузнецов)
Ответ
Ответ.
при чётном , при нечётном , то есть .
Решение.
Пример.
При чётном рассмотрим параллельных прямых и на каждой выделим пару непересекающихся лучей. Заметим, что в каждой паре лучей пересечений со сферой не больше двух, так как прямая имеет со сферой не более двух общих точек, поэтому . Пример для нечётного получается удалением из примера для одного луча.
Оценка.
Рассмотрим некоторую прямую , которая не перпендикулярна ни одному из наших лучей. Рассмотрим проекции наших лучей на , среди них не менее направлены в одну сторону (будем говорить, что вправо), забудем про остальные лучи. Пусть точка на прямой принадлежит всем выбранным проекциям, выберем произвольную точку правее. Пусть и — плоскости, перпендикулярные прямой , проходящие через и соответственно. Каждый из выбранных нами лучей пересекает обе эти плоскости. Выберем достаточно большое такое, чтобы окружность с центром и радиуса содержала внутри все точки пересечения плоскости с выбранными лучами. Рассмотрим сферу , которая касается плоскости в точке и содержит окружность . Рассмотрим любой из наших лучей. Он проходит через точку внутри сферы , а его начало лежит в другом полупространстве относительно плоскости , нежели , поэтому он пересекает в двух точках. Таким образом, мы получили точек пересечения.