ВсОШ 2022, 11 класс, задача 6
( баллов) Дано натуральное число . Саша утверждает, что для любых лучей в пространстве, никакие два из которых не имеют общих точек, он сможет отметить на этих лучах точек, лежащих на одной сфере. При каком наибольшем его утверждение верно?
(А. Кузнецов)
Ответ.
при чётном , при нечётном , то есть .
Решение.
Пример.
При чётном рассмотрим параллельных прямых и на каждой выделим пару непересекающихся лучей. Заметим, что в каждой паре лучей пересечений со сферой не больше двух, так как прямая имеет со сферой не более двух общих точек, поэтому . Пример для нечётного получается удалением из примера для одного луча.
Оценка.
Рассмотрим некоторую прямую , которая не перпендикулярна ни одному из наших лучей. Рассмотрим проекции наших лучей на , среди них не менее направлены в одну сторону (будем говорить, что вправо), забудем про остальные лучи. Пусть точка на прямой принадлежит всем выбранным проекциям, выберем произвольную точку правее. Пусть и — плоскости, перпендикулярные прямой , проходящие через и соответственно. Каждый из выбранных нами лучей пересекает обе эти плоскости. Выберем достаточно большое такое, чтобы окружность с центром и радиуса содержала внутри все точки пересечения плоскости с выбранными лучами. Рассмотрим сферу , которая касается плоскости в точке и содержит окружность . Рассмотрим любой из наших лучей. Он проходит через точку внутри сферы , а его начало лежит в другом полупространстве относительно плоскости , нежели , поэтому он пересекает в двух точках. Таким образом, мы получили точек пересечения.