ВсОШ 2025, 11 класс, задача 2
Дана прямая призма . Известно, что треугольники , , и — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника лежат на одной сфере.
Решение. Обозначим через и точки пересечения медиан и высот треугольника , а также отметим точку так, что
Пусть сфера построена на отрезке как на диаметре. Поскольку прямая перпендикулярна плоскости , то точка лежит на . Покажем, что на сфере лежит точка пересечения высот треугольника ; рассуждение для двух других треугольников аналогично.
Обозначим через середину отрезка . Поскольку , точка лежит на отрезке , в частности, она лежит в плоскости . Пусть — высота треугольника . Поскольку прямая перпендикулярна плоскости , то , а также по теореме о трёх перпендикулярах, то есть точка лежит на отрезке .
Поскольку точка, симметричная точке пересечения высот треугольника относительно прямой , лежит на его описанной окружности, то
Применяя то же рассуждение для треугольника , мы получаем
Следовательно, четырёхугольник вписанный, поэтому . Поскольку ещё и , вновь применяя теорему о трёх перпендикулярах, мы получаем, что прямая перпендикулярна плоскости . Значит, , то есть точка лежит на сфере , что и требовалось.
Замечание. Точка — общая точка пересечения медиан треугольников , , .