ВсОШ 2023, 9 класс, задача 4

Сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2023, 9 класс, Первый тур

( баллов) Точка лежит строго внутри описанной около треугольника окружности. Обозначим через и центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон и соответственно. Докажите, что . (Д. Бродский)

Решение. Обозначим через окружность с диаметром . Поскольку и , точки и лежат на (см. рис. 1).

Рисунок 1 к решению задачи 9.4

Обозначим через центр вписанной окружности . Если точка лежит внутри угла , то углы и тупые, поэтому и . Перемножив эти неравенства, получим требуемое.

В противном случае точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой . Продлим лучи и до пересечения с в точках и соответственно. Поскольку четырёхугольник вписан в окружность с диаметром , то

откуда , поэтому . Кроме того, поскольку длина хорды окружности не превосходит длины диаметра,

откуда . Следовательно,

Замечание. Если разрешить точке находиться на описанной окружности треугольника , то неравенство обращается в равенство в вершине и в середине дуги .

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4

(20 баллов) В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, внешние биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке J. Окружность ω_b с центром в точке O_b проходит через точку B и касается прямой CI в точке I. Окружность ω_c с центром в точке O_c проход

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 4

На стороне AB остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC за точку C - точка E. Оказалось, что прямая, проходящая через E и параллельная AB, касается окружности, описанной около треугольника ADC. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки E к описанной

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 3

Дан неравнобедренный треугольник ABC, в котором angle A=60^circ. На стороне BC отмечены точки X и Y таким образом, что 2BX=AB и 2CY=AC. Докажите, что существует окружность, проходящая через точки X и Y, которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника ABC.

Сложная

Планиметрия