ВсОШ 2026, 9 класс, задача 3
Дан неравнобедренный треугольник , в котором . На стороне отмечены точки и таким образом, что и . Докажите, что существует окружность, проходящая через точки и , которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника .
Решение. Обозначим через вписанную окружность треугольника , а через его вневписанную окружность, касающуюся стороны . Покажем, что существует окружность, которая проходит через точки и и касается и . Обозначим через и ближайшие друг к другу точки пересечения биссектрисы угла с окружностями и соответственно, через и — центры этих окружностей, а через и — их радиусы. Докажем, что окружность с диаметром — искомая. Для этого проверим, что точка лежит на окружности ; доказательство для точки аналогично.
Пусть — вторая точка пересечения с биссектрисой угла , а — середина . Поскольку , имеем и . В частности, это означает, что и . Значит, — средняя линия в треугольнике , то есть .
При симметрии относительно биссектрисы угла точка переходит в , а точка — в некоторую точку , также лежащую на . Тогда и, значит, . С другой стороны, так как — диаметр , то . Поэтому точка лежит на прямой , а значит, .
Наконец, как средняя линия треугольника , а , поскольку — биссектриса в равнобедренном треугольнике ; значит, точка лежит на прямой , и . Таким образом, , и точка лежит на .
Замечание. По-другому тот факт, что точка лежит на , можно доказать так. Как и в решении, заметим, что . Пусть прямая пересекает в точке . Поскольку — биссектриса в треугольнике , имеем
Отсюда следует, что . Параллельность доказывается аналогично.