ВсОШ 2023, 9 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2023, 9 класс, Второй тур

( баллов) Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти кучек и пронумеровать их числами от до так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй - хотя бы два камня, , в пятидесятой - хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходно на столе лежат кучек по камней в каждой. Найдите наибольшее такое, что после удаления из исходных кучек любых камней на столе всё равно останется много камней. (При удалении камней кучка не распадается на несколько.) (Д. Храмцов)

Ответ. .

Решение. Если удалить полностью кучку, то, очевидно, не останется много камней. Значит, искомое значение меньше . (Альтернативно, можно удалить из всех кучек по камню.)

Осталось показать, что при удалении любых камней останется много камней. Пусть в кучках осталось камней соответственно; можно считать, что . Покажем, что при , то есть кучки с номерами от до удовлетворяют требованиям.

Пусть это не так, то есть при некотором . Это значит, что каждая из первых кучек содержит не более камня, то есть из неё удалено хотя бы камней. Поэтому общее количество удалённых камней не меньше, чем

Противоречие.

Похожие задачи

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 7

В строку выписаны числа 1, 2, 3,..., 60 (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки +, - и × между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на 3,

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 1

На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из k цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем k это возм

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 6

Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа a, b, c и заменить число b на a-b+c. При каком наибольшем k Петя мог выбрать исходные числа

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 1

На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведённых линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить кажды

Сложная

Комбинаторика