ВсОШ 2025, 9 класс, задача 7

Сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2025, 9 класс, Второй тур

В строку выписаны числа , , , ..., (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки , и между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на , то победа присуждается Игорю, иначе Руслану. Кто из игроков может выиграть, независимо от действий соперника?

Ответ. Игорь.

Решение. Заменим все числа в строке на их остатки от деления на , от этого результат игры не изменится. Получим строку , , , ..., , , . Промежутки между числами пронумеруем слева направо от до . Первым ходом Игорь ставит знак в -й промежуток, а все остальные промежутки он разбивает на пары вида . Если Руслан ставит в какой-то промежуток знак или , то Игорь в парный промежуток ставит или соответственно. А если Руслан ставит знак , то Игорь ставит в парный промежуток также знак . Когда все знаки расставлены, полученное выражение разбивается на несколько слагаемых. При этом в левой и правой половинах выражения набор слагаемых одинаковый, но берутся они с противоположными знаками. Следовательно, его значение будет давать остаток при делении на .

Похожие задачи

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 1

На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из k цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем k это возм

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Изначально в строку выписывают 250 букв — 125 букв А и 125 букв Б в некотором порядке. Затем за одну операцию можно взять любой кусок из нескольких подряд стоящих букв, среди которых поровну букв А и Б, и переставить буквы в этом куске в обратном порядке, поменяв в этом куске все буквы А

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 1

Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает Петя. При каком наименьшем k Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце игры количества конфет у мальчиков отличаются

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 4

Шахматного короля поставили на клетку доски 8 × 8 и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результат

Сложная

Комбинаторика