ВсОШ 2025, 9 класс, задача 7

В строку выписаны числа , , , ..., (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки , и между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на , то победа присуждается Игорю, иначе Руслану. Кто из игроков может выиграть, независимо от действий соперника?

Ответ

Ответ. Игорь.

Решение. Заменим все числа в строке на их остатки от деления на , от этого результат игры не изменится. Получим строку , , , ..., , , . Промежутки между числами пронумеруем слева направо от до . Первым ходом Игорь ставит знак в -й промежуток, а все остальные промежутки он разбивает на пары вида . Если Руслан ставит в какой-то промежуток знак или , то Игорь в парный промежуток ставит или соответственно. А если Руслан ставит знак , то Игорь ставит в парный промежуток также знак . Когда все знаки расставлены, полученное выражение разбивается на несколько слагаемых. При этом в левой и правой половинах выражения набор слагаемых одинаковый, но берутся они с противоположными знаками. Следовательно, его значение будет давать остаток при делении на .

Похожие задачи

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 1

На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из k цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем k это возм

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти 50 кучек и пронумеровать их числами от 1 до 50 так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй - хотя бы два камня, ldots, в пятидесятой - хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходн

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Дана бесконечная последовательность чисел a₁,a₂,ldots, в которой нет двух равных членов. Отрезок a_i,a_i+1,ldots,a_i+m-1 этой последовательности назовём монотонным отрезком длины m, если выполнены неравенства a_ii+1i+m-1

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Изначально в строку выписывают 250 букв — 125 букв А и 125 букв Б в некотором порядке. Затем за одну операцию можно взять любой кусок из нескольких подряд стоящих букв, среди которых поровну букв А и Б, и переставить буквы в этом куске в обратном порядке, поменяв в этом куске все буквы А

Сложная

Комбинаторика