ВсОШ 2026, 9 класс, задача 1
Сначала на тарелке лежат конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает Петя. При каком наименьшем Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце игры количества конфет у мальчиков отличаются не более чем на ? (Во время игры мальчики конфеты не едят.)
Ответ: .
Решение. Стратегия Пети. Покажем, как действовать Пете, чтобы в итоге количества конфет отличались не больше, чем на , как бы ни ходил Вася. Пусть на первом ходе Петя возьмёт конфет, а затем на каждом ходе будет брать по одной конфете. Если после первого хода он возьмёт ещё конфет, то он (а значит, и Вася) сделает ещё ходов. Поэтому количество конфет у Васи будет не меньше, чем , при этом . Количества конфет у мальчиков будут отличаться на ; при этом , то есть , или , что и требовалось.
Стратегия Васи. Покажем, как действовать Васе, чтобы количества конфет у мальчиков отличались не меньше, чем на , как бы ни ходил Петя. Пусть Петя первым ходом взял конфет. Если , то Васе достаточно сразу же забрать все оставшиеся конфеты — количества будут различаться на . Если же , Вася будет брать каждым своим ходом по одной конфете. Тогда, если у Васи окажется конфет, то Петя сделает (после первого) ещё хотя бы ход, то есть у него окажется не менее конфет. Значит, разность их количеств будет не меньше , что и требовалось.