ВсОШ 2023, 10 класс, задача 7
( баллов) Дана трапеция , в которой , а лучи и пересекаются в точке . Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников и , пересекаются в точке . Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников и , пересекаются в точке . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой. (А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Пусть прямая повторно пересекает окружность в точке , а прямая повторно пересекает окружность в точке (мы разберём расположение точек, указанное на рис. 2; другие случаи рассматриваются аналогично).
Рассмотрим гомотетию с центром , переводящую в . При такой гомотетии точка переходит в , а точка - в . Отсюда и
Но и . Значит,
Из полученного равенства следует, что точки , , , лежат на одной окружности.
Поскольку точка лежит на серединном перпендикуляре к (т. е. на оси симметрии окружностей и ), она является серединой дуги окружности . Значит, лежит на внешней биссектрисе угла .
Аналогично показывается, что также лежит на внешней биссектрисе угла .
Замечание. У задачи есть следующее обобщение. Пусть - четырёхугольник, , а - вторая точка пересечения окружностей и (иначе говоря, точка Микеля этого четырёхугольника). Пусть - центр гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей в . Тогда точки , , , лежат на одной окружности, причём - середина дуги (т. е. - биссектриса угла между и ).
Доказать это можно аналогично решению решении задачи: имеем (в направленных углах)