ВсОШ 2023, 9 класс, задача 6

( баллов) Рассмотрим все -значные числа, делящиеся на . Докажите, что количество таких чисел, не содержащих цифр , и , равно количеству таких чисел, не содержащих цифр , и . (И. Ефремов)

Ответ

Решение. Каждому остатку от деления на сопоставим остаток такой, что . Заметим, что остаткам , , , , , , сопоставлены остатки , , , , , , соответственно. Более того, по остатку восстанавливается остаток такой, что и (из аналогичных соображений).

Обозначим теперь через множество чисел из условия, не содержащих цифр , , , а через - множество таких чисел, не содержащих , , . Каждому числу сопоставим число . Заметим, что - цифра (причём ), так что получилось -значное число. Кроме того,

так что делится на и . Поскольку разным числам из соответствуют разные числа из , количество чисел в не меньше, чем в .

Наконец, каждому числу соответствует число , которое по аналогичным причинам лежит в . Отсюда следует, что количества чисел в и равны.

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 5

У Кати есть 2n катушек с лентами (n — натуральное число). Изначально на катушках намотано 1²,2²,ldots,(2n)² дециметров ленты соответственно. Каждый час Катя выбирает натуральное число i и отрезает по i дециметров ленты от всех катушек, на которых осталось не менее i

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 7

Пусть n — нечётное натуральное число. Дана таблица n × n. Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку (так, расстояние между клетками, соседними по стороне, равно 1). R

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Дана бесконечная последовательность чисел a₁,a₂,ldots, в которой нет двух равных членов. Отрезок a_i,a_i+1,ldots,a_i+m-1 этой последовательности назовём монотонным отрезком длины m, если выполнены неравенства a_ii+1i+m-1

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2019, 9 класс, задача 1

На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещенными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой. (С. Волчёнков)

Сложная

Комбинаторика