ВсОШ 2023, 9 класс, задача 6
( баллов) Рассмотрим все -значные числа, делящиеся на . Докажите, что количество таких чисел, не содержащих цифр , и , равно количеству таких чисел, не содержащих цифр , и . (И. Ефремов)
Решение. Каждому остатку от деления на сопоставим остаток такой, что . Заметим, что остаткам , , , , , , сопоставлены остатки , , , , , , соответственно. Более того, по остатку восстанавливается остаток такой, что и (из аналогичных соображений).
Обозначим теперь через множество чисел из условия, не содержащих цифр , , , а через - множество таких чисел, не содержащих , , . Каждому числу сопоставим число . Заметим, что - цифра (причём ), так что получилось -значное число. Кроме того,
так что делится на и . Поскольку разным числам из соответствуют разные числа из , количество чисел в не меньше, чем в .
Наконец, каждому числу соответствует число , которое по аналогичным причинам лежит в . Отсюда следует, что количества чисел в и равны.