ВсОШ 2023, 10 класс, задача 1
( баллов) Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника , покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного . (Л. Емельянов)
Ответ
Решение. Пусть — данный треугольник, — центр его описанной окружности, , , — середины его сторон , , соответственно, так что подобен с коэффициентом и , , .
Пусть при повороте вокруг по часовой стрелке на угол точка переходит в . При таком повороте прямая переходит в перпендикуляр к , проходящий через , пусть этот перпендикуляр пересекает в точке (см. рис. 2).
Видим, что прямоугольные треугольники и равны (симметричны относительно ), и поэтому , значит, в прямоугольном треугольнике верно . Иными словами, получается из в результате поворотной гомотетии: поворота с центром по часовой стрелке на угол и последующей гомотетии с центром и коэффициентом .
Аналогичный результат получим для других точек , пересечения одноцветных прямых. Таким образом, треугольник получается из поворотной гомотетией с центром и коэффициентом . Тогда подобен с коэффициентом , следовательно, равен .