ВсОШ 2023, 10 класс, задача 5

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2023, 10 класс, Второй тур

( баллов) Найдите наибольшее натуральное число , для которого произведение чисел делится на квадрат какого-то одного из них. (А. Храбров)

Ответ. .

Решение. При имеем

целое число.

Пусть теперь и пусть делится на , где , . Имеем

где . Заметим, что число должно делиться на . Но

значит, не делится на . Противоречие.

Похожие задачи

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 3

Пару многочленов F(x,y) и G(x,y) с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на 100 обеих разностей F(a,b)-F(c,d) и G(a,b)-G(c,d), где a, b, c, d — целые, следует, что числа a-c и b-d делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов P(x,y), Q(x,y), что пара многочленов P(x,y

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 1

Можно ли 2026 чисел 1+√2, 1+2√2, ldots, 1+2026√2 разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 3

Найдите все натуральные n, для которых существует такое чётное натуральное a, что число (a-1)(a²-1)ldots(aⁿ-1) является точным квадратом.

Очень сложная

Теория чисел

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 6

На доску выписаны 2026 попарно различных натуральных чисел, больших 1. Оказалось, что для любого выписанного числа a найдутся хотя бы k пар выписанных чисел b

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика