ВсОШ 2025, 11 класс, задача 3
Пару многочленов и с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на обеих разностей и , где , , , — целые, следует, что числа и делятся на . Существует ли такая важная пара многочленов , , что пара многочленов и также является важной?
Ответ. Не существует.
Решение. Пусть пара многочленов и — важная. Рассмотрим пары остатков от деления на чисел и , где , — всевозможные пары целых чисел от до . Согласно условию задачи, все такие пары остатков разные. Поскольку всего пар чисел , то каждая пара остатков от деления на достигается ровно один раз. Значит, достигаются все возможные пары чётностей чисел , . Поскольку чётность значения многочлена с целыми коэффициентами в точке зависит только от чётности чисел и , мы получаем, что пары значений
дают все четыре возможные пары чётностей. Однако заметим, что для пар многочленов , и , первые три пары чётностей одинаковые, а последняя пара — разная. Следовательно, обе такие пары многочленов важными быть не могут.