ВсОШ 2023, 10 класс, задача 3

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный (9–11 классы), 2023, 10 класс, Первый тур

( баллов) Даны натуральные числа и такие, что . Существует ли многочлен степени больше с коэффициентами из множества такой, что делится на ? (Т. Коротченко)

Ответ

Ответ. При существует.

Решение. Легко видеть, что если , то всякий многочлен с коэффициентами от до является нулевым.

Пусть . Представим в -ичной записи:

где . Поскольку , в этой записи .

Покажем, что удовлетворяет условию. Действительно, для любого многочлена с целыми коэффициентами делится на . Значит, делится на . Но тогда и делится на .

Похожие задачи

ВсОШ 2021, 11 класс, задача 1

При некоторых натуральных n>m число n оказалось представимо в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа m, а также в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа m+1. При каком наибольшем m это

Очень сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 8

Дано натуральное n>2. Маша записывает по кругу n натуральных чисел. Далее Тая делает такую операцию: между каждыми двумя соседними числами a и b она пишет некоторый делитель числа a+b, больший 1; затем Тая стирает исходные числа и получает новый набор из n чисел, стоящих по кругу. Всегда ли Тая може

Очень сложная

Теория чисел

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 5

Саша поставил фишку в одну из точек координатной плоскости. За одну операцию разрешается переместить фишку, расположенную в точке с координатами (a_i,b_i), в другую точку (a_i+1,b_i+1), если уравнение прямой, соединяющей эти точки, имеет вид y=a_i x+

Очень сложная

Алгебра

Функции

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 2

Последовательность натуральных чисел a₁,a₂,ldots удовлетворяет равенству a₁+a₂+ldots+a_2n-1=a_n² при всех натуральных n. Найдите все такие последовательности, в которых встречается число 3.

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел